---

Step * 1 2 2 2 of Lemma Kan_id_filler_uniform


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. a : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
4. b : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
5. I : Cname List
6. alpha : X(I)
7. J : nameset(I) List
8. x : nameset(I)
9. i : ℕ2
10. bx : A-open-box(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;alpha;J;x;i)
11. K : Cname List
12. f : name-morph(I;K)
13. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
14. ↑isname(f x)
15. (map(f;J) ∈ nameset(K) List)
∧ (f x ∈ nameset(K))
∧ (nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I))
∧ l_subset(Cname;[fresh-cname(K) / map(f;J)];[fresh-cname(K) / K])
∧ ([fresh-cname(K) / map(f;J)] ∈ nameset([fresh-cname(K) / K]) List)
16. ∀z:Cname. ((z ∈ [fresh-cname(I) / J]) ⇒ (↑isname(f[fresh-cname(I):=fresh-cname(K)] z)))
17. map(f[fresh-cname(I):=fresh-cname(K)];[fresh-cname(I) / J]) ~ [fresh-cname(K) / map(f;J)]
⊢ (Kan_id_filler(X;A;a;b) I alpha J x i bx alpha f)
= (Kan_id_filler(X;A;a;b) K f(alpha) map(f;J) (f x) i A-open-box-image(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;K;f;alpha;bx))
∈ (Id_Kan-type(A) a b)(f(alpha))
BY
{ (BLemma `equal-cubical-identity-at` THEN InstLemma `Kan_id_filler_wf1` [⌜X⌝;⌜A⌝;⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THEN Auto) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. a : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
4. b : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
5. I : Cname List
6. alpha : X(I)
7. J : nameset(I) List
8. x : nameset(I)
9. i : ℕ2
10. bx : A-open-box(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;alpha;J;x;i)
11. K : Cname List
12. f : name-morph(I;K)
13. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
14. ↑isname(f x)
15. map(f;J) ∈ nameset(K) List
16. f x ∈ nameset(K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. l_subset(Cname;[fresh-cname(K) / map(f;J)];[fresh-cname(K) / K])
19. [fresh-cname(K) / map(f;J)] ∈ nameset([fresh-cname(K) / K]) List
20. ∀z:Cname. ((z ∈ [fresh-cname(I) / J]) ⇒ (↑isname(f[fresh-cname(I):=fresh-cname(K)] z)))
21. map(f[fresh-cname(I):=fresh-cname(K)];[fresh-cname(I) / J]) ~ [fresh-cname(K) / map(f;J)]
22. Kan_id_filler(X;A;a;b) ∈ I:(Cname List)
    ⟶ alpha:X(I)
    ⟶ J:(nameset(I) List)
    ⟶ x:nameset(I)
    ⟶ i:ℕ2
    ⟶ A-open-box(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;alpha;J;x;i)
    ⟶ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;alpha)
⊢ (Kan_id_filler(X;A;a;b) I alpha J x i bx alpha f) ∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;K;f(alpha))

2
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. a : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
4. b : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
5. I : Cname List
6. alpha : X(I)
7. J : nameset(I) List
8. x : nameset(I)
9. i : ℕ2
10. bx : A-open-box(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;alpha;J;x;i)
11. K : Cname List
12. f : name-morph(I;K)
13. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
14. ↑isname(f x)
15. map(f;J) ∈ nameset(K) List
16. f x ∈ nameset(K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. l_subset(Cname;[fresh-cname(K) / map(f;J)];[fresh-cname(K) / K])
19. [fresh-cname(K) / map(f;J)] ∈ nameset([fresh-cname(K) / K]) List
20. ∀z:Cname. ((z ∈ [fresh-cname(I) / J]) ⇒ (↑isname(f[fresh-cname(I):=fresh-cname(K)] z)))
21. map(f[fresh-cname(I):=fresh-cname(K)];[fresh-cname(I) / J]) ~ [fresh-cname(K) / map(f;J)]
22. Kan_id_filler(X;A;a;b) ∈ I:(Cname List)
    ⟶ alpha:X(I)
    ⟶ J:(nameset(I) List)
    ⟶ x:nameset(I)
    ⟶ i:ℕ2
    ⟶ A-open-box(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;alpha;J;x;i)
    ⟶ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;alpha)
⊢ path-eq(X;Kan-type(A);K;f(alpha);(Kan_id_filler(X;A;a;b) I alpha J x i 
                                    bx alpha f);Kan_id_filler(X;A;a;b) K f(alpha) map(f;J) (f x) i 
                                                A-open-box-image(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;K;f;alpha;bx))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
3.  a  :  \{X  \mvdash{}  \_:Kan-type(A)\}
4.  b  :  \{X  \mvdash{}  \_:Kan-type(A)\}
5.  I  :  Cname  List
6.  alpha  :  X(I)
7.  J  :  nameset(I)  List
8.  x  :  nameset(I)
9.  i  :  \mBbbN{}2
10.  bx  :  A-open-box(X;(Id\_Kan-type(A)  a  b);I;alpha;J;x;i)
11.  K  :  Cname  List
12.  f  :  name-morph(I;K)
13.  \mforall{}i:nameset(I).  ((i  \mmember{}  J)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  i)))
14.  \muparrow{}isname(f  x)
15.  (map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List)
\mwedge{}  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
\mwedge{}  (nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I))
\mwedge{}  l\_subset(Cname;[fresh-cname(K)  /  map(f;J)];[fresh-cname(K)  /  K])
\mwedge{}  ([fresh-cname(K)  /  map(f;J)]  \mmember{}  nameset([fresh-cname(K)  /  K])  List)
16.  \mforall{}z:Cname.  ((z  \mmember{}  [fresh-cname(I)  /  J])  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f[fresh-cname(I):=fresh-cname(K)]  z)))
17.  map(f[fresh-cname(I):=fresh-cname(K)];[fresh-cname(I)  /  J])  \msim{}  [fresh-cname(K)  /  map(f;J)]
\mvdash{}  (Kan\_id\_filler(X;A;a;b)  I  alpha  J  x  i  bx  alpha  f)
=  (Kan\_id\_filler(X;A;a;b)  K  f(alpha)  map(f;J)  (f  x)  i 
      A-open-box-image(X;(Id\_Kan-type(A)  a  b);I;K;f;alpha;bx))


By

---

Latex:
(BLemma  `equal-cubical-identity-at`  THEN  InstLemma  `Kan\_id\_filler\_wf1`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index