---

Step * 1 of Lemma csm-Kan-cubical-identity

.....subterm..... T:t
2:n
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A : {X ⊢ _(Kan)}
5. a : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
6. b : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
7. ((Id_Kan-type(A) a b))s = (Id_Kan-type((A)s) (a)s (b)s) ∈ {Delta ⊢ _}
⊢ (λI,alpha. (Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha))
= Kan_id_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s)
∈ (I:(Cname List)
  ⟶ alpha:Delta(I)
  ⟶ J:(nameset(I) List)
  ⟶ x:nameset(I)
  ⟶ i:ℕ2
  ⟶ A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i)
  ⟶ ((Id_Kan-type(A) a b))s(alpha))
BY
{ (RepeatFor 6 ((FunExt THENA Auto))
   THEN Reduce 0
   THEN (InstLemma `csm-A-open-box` [⌜Delta⌝;⌜X⌝;⌜s⌝;⌜(Id_Kan-type(A) a b)⌝;⌜I⌝;⌜alpha⌝;⌜J⌝;⌜x⌝;⌜i⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN SubsumeC ⌜I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)⌝⋅
   THEN Try ((RepUR ``cubical-type-at cubical-identity csm-ap-type cubical-path`` 0
              THEN BLemma `subtype_quotient`
              THEN Auto))) }

1
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A : {X ⊢ _(Kan)}
5. a : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
6. b : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
7. ((Id_Kan-type(A) a b))s = (Id_Kan-type((A)s) (a)s (b)s) ∈ {Delta ⊢ _}
8. I : Cname List
9. alpha : Delta(I)
10. J : nameset(I) List
11. x : nameset(I)
12. i : ℕ2
13. x1 : A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i)
14. A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i) ⊆r A-open-box(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;(s)alpha;J;x;i)
⊢ (Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha J x i x1)
= (Kan_id_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s) I alpha J x i x1)
∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
2:n
1.  X  :  CubicalSet
2.  Delta  :  CubicalSet
3.  s  :  Delta  {}\mrightarrow{}  X
4.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
5.  a  :  \{X  \mvdash{}  \_:Kan-type(A)\}
6.  b  :  \{X  \mvdash{}  \_:Kan-type(A)\}
7.  ((Id\_Kan-type(A)  a  b))s  =  (Id\_Kan-type((A)s)  (a)s  (b)s)
\mvdash{}  (\mlambda{}I,alpha.  (Kan\_id\_filler(X;A;a;b)  I  (s)alpha))  =  Kan\_id\_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s)


By

---

Latex:
(RepeatFor  6  ((FunExt  THENA  Auto))
  THEN  Reduce  0
  THEN  (InstLemma  `csm-A-open-box`  [\mkleeneopen{}Delta\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(Id\_Kan-type(A)  a  b)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}alpha\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  SubsumeC  \mkleeneopen{}I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Try  ((RepUR  ``cubical-type-at  cubical-identity  csm-ap-type  cubical-path``  0
                        THEN  BLemma  `subtype\_quotient`
                        THEN  Auto)))

---

Home Index