---

Step * 1 of Lemma csm-ap-cubical-app

.....wf..... 
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. A : {X ⊢ _}
4. B : {X.A ⊢ _}
5. w : {X ⊢ _:ΠA B}
6. u : {X ⊢ _:A}
7. s : Delta ⟶ X
⊢ app((w)s; (u)s) ∈ I:(Cname List) ⟶ a:Delta(I) ⟶ ((fst(((B)[u])s)) I a)
BY
{ xxx((Assert X.A ⊢ B BY
             Trivial)
      THEN RepeatFor 2 (DVar `B')
      THEN (DVar `u' THEN DVar `w')
      THEN DVar `s'
      THEN (Assert X ⊢ A BY
                  Trivial)
      THEN RepeatFor 2 (DVar `A')
      THEN RepUR ``cubical-app csm-ap-term csm-ap csm-ap-type csm-id-adjoin csm-adjoin`` 0
      THEN RepeatFor 2 (DVar `Delta')
      THEN All (RepUR ``cat-ob name-cat cat-arrow type-cat cat-comp functor-ob
                       csm-id identity-trans cat-id type-cat functor-arrow 
                       cubical-type-at cubical-sigma I-cube``)⋅
      THEN RepeatFor 2 ((MemCD THENA Auto)))xxx }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. X : CubicalSet
2. X1 : L:(Cname List) ⟶ Type
3. D1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ name-morph(I;J) ⟶ (X1 I) ⟶ (X1 J)
4. let X,F = <X1, D1> 
   in (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K).
         ((F I K (f o g)) = ((F J K g) o (F I J f)) ∈ ((X I) ⟶ (X K))))
      ∧ (∀I:Cname List. ((F I I 1) = (λx.x) ∈ ((X I) ⟶ (X I))))
5. A1 : I:(Cname List) ⟶ ((fst(X)) I) ⟶ Type
6. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:((fst(X)) I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
7. (∀I:Cname List. ∀a:(fst(X)) I. ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:(fst(X)) I. ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a))))
8. A@0 : I:(Cname List) ⟶ ((fst(X.<A1, A2>)) I) ⟶ Type
9. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:((fst(X.<A1, A2>)) I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
10. (∀I:Cname List. ∀a:(fst(X.<A1, A2>)) I. ∀u:A@0 I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:(fst(X.<A1, A2>)) I. ∀u:A@0 I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K (f o g)(a))))
11. w : I:(Cname List) ⟶ a:((fst(X)) I) ⟶ ((fst(Π<A1, A2> <A@0, B1>)) I a)
12. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:(fst(X)) I.
      ((λK,g. (w I a K (f o g))) = (w J f(a)) ∈ cubical-pi-family(X;<A1, A2>;<A@0, B1>;J;f(a)))
13. u : I:(Cname List) ⟶ a:((fst(X)) I) ⟶ (A1 I a)
14. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:(fst(X)) I.  ((A2 I J f a (u I a)) = (u J f(a)) ∈ (A1 J f(a)))
15. s : A:(Cname List) ⟶ (X1 A) ⟶ ((fst(X)) A)
16. ∀A,B:Cname List. ∀g:name-morph(A;B).  ((((snd(X)) A B g) o (s A)) = ((s B) o (D1 A B g)) ∈ ((X1 A) ⟶ ((fst(X)) B)))
17. X.<A1, A2> ⊢ <A@0, B1>
18. X ⊢ <A1, A2>
19. I : Cname List
20. a : X1 I
⊢ w I (s I a) I 1 (u I (s I a)) ∈ A@0 I <s I a, u I (s I a)>

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  X  :  CubicalSet
2.  Delta  :  CubicalSet
3.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
4.  B  :  \{X.A  \mvdash{}  \_\}
5.  w  :  \{X  \mvdash{}  \_:\mPi{}A  B\}
6.  u  :  \{X  \mvdash{}  \_:A\}
7.  s  :  Delta  {}\mrightarrow{}  X
\mvdash{}  app((w)s;  (u)s)  \mmember{}  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  a:Delta(I)  {}\mrightarrow{}  ((fst(((B)[u])s))  I  a)


By

---

Latex:
xxx((Assert  X.A  \mvdash{}  B  BY
                      Trivial)
        THEN  RepeatFor  2  (DVar  `B')
        THEN  (DVar  `u'  THEN  DVar  `w')
        THEN  DVar  `s'
        THEN  (Assert  X  \mvdash{}  A  BY
                                Trivial)
        THEN  RepeatFor  2  (DVar  `A')
        THEN  RepUR  ``cubical-app  csm-ap-term  csm-ap  csm-ap-type  csm-id-adjoin  csm-adjoin``  0
        THEN  RepeatFor  2  (DVar  `Delta')
        THEN  All  (RepUR  ``cat-ob  name-cat  cat-arrow  type-cat  cat-comp  functor-ob
                                          csm-id  identity-trans  cat-id  type-cat  functor-arrow 
                                          cubical-type-at  cubical-sigma  I-cube``)\mcdot{}
        THEN  RepeatFor  2  ((MemCD  THENA  Auto)))xxx

---

Home Index