---

Step * 2 1 1 of Lemma csm-cubical-identity


1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
5. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
6. (∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a))))
7. a : {X ⊢ _:<A1, A2>}
8. b : {X ⊢ _:<A1, A2>}
9. X ⊢ <A1, A2>
10. Delta ⊢ (<A1, A2>)s
11. I : Cname List
12. J : Cname List
13. f : name-morph(I;J)
14. a1 : Delta(I)
15. u : I-path(X;<A1, A2>;a;b;I;(s)a1)
16. u1 : I-path(X;<A1, A2>;a;b;I;(s)a1)
17. path-eq(X;<A1, A2>;I;(s)a1;u;u1)
⊢ I-path-morph(X;<A1, A2>;I;J;f;(s)a1;u) = I-path-morph(Delta;<λI,a. (A1 I (s)a), λI,J,f,a,u. (A2 I J f (s)a u)>;I;J;f;a\000C1;u1) ∈ I-path(X;<A1, A2>;a;b;J;(s)f(a1))
BY
{ (D -3 THEN D -2 THEN RepUR ``I-path-morph I-path`` 0 THEN EqCD THEN Auto) }

1
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
5. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
6. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a))
7. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a)))
8. a : {X ⊢ _:<A1, A2>}
9. b : {X ⊢ _:<A1, A2>}
10. X ⊢ <A1, A2>
11. Delta ⊢ (<A1, A2>)s
12. I : Cname List
13. J : Cname List
14. f : name-morph(I;J)
15. a1 : Delta(I)
16. z : {z:Cname| ¬(z ∈ I)} 
17. u2 : named-path(X;<A1, A2>;a;b;I;(s)a1;z)
18. z1 : {z:Cname| ¬(z ∈ I)} 
19. u3 : named-path(X;<A1, A2>;a;b;I;(s)a1;z1)
20. path-eq(X;<A1, A2>;I;(s)a1;<z, u2>;<z1, u3>)
⊢ named-path-morph(X;<A1, A2>;I;J;z;fresh-cname(J);f;(s)a1;u2)
= named-path-morph(Delta;<λI,a. (A1 I (s)a), λI,J,f,a,u. (A2 I J f (s)a u)>;I;J;z1;fresh-cname(J);f;a1;u3)
∈ named-path(X;<A1, A2>;a;b;J;(s)f(a1);fresh-cname(J))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  Delta  :  CubicalSet
3.  s  :  Delta  {}\mrightarrow{}  X
4.  A1  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  X(I)  {}\mrightarrow{}  Type
5.  A2  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  J:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (A1  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A1  J  f(a))
6.  (\mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.    ((A2  I  I  1  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.
          ((A2  I  K  (f  o  g)  a  u)  =  (A2  J  K  g  f(a)  (A2  I  J  f  a  u))))
7.  a  :  \{X  \mvdash{}  \_:<A1,  A2>\}
8.  b  :  \{X  \mvdash{}  \_:<A1,  A2>\}
9.  X  \mvdash{}  <A1,  A2>
10.  Delta  \mvdash{}  (<A1,  A2>)s
11.  I  :  Cname  List
12.  J  :  Cname  List
13.  f  :  name-morph(I;J)
14.  a1  :  Delta(I)
15.  u  :  I-path(X;<A1,  A2>a;b;I;(s)a1)
16.  u1  :  I-path(X;<A1,  A2>a;b;I;(s)a1)
17.  path-eq(X;<A1,  A2>I;(s)a1;u;u1)
\mvdash{}  I-path-morph(X;<A1,  A2>I;J;f;(s)a1;u)  =  I-path-morph(Delta;<\mlambda{}I,a.  (A1  I  (s)a),  \mlambda{}I,J,f,a,u.  (A2  I  \000CJ  f  (s)a  u)>I;J;f;a1;u1)


By

---

Latex:
(D  -3  THEN  D  -2  THEN  RepUR  ``I-path-morph  I-path``  0  THEN  EqCD  THEN  Auto)

---

Home Index