---

Step * 1 1 1 of Lemma csm-cubical-sigma


1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
5. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a))
6. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a)))
7. A : I:(Cname List) ⟶ X.<A1, A2>(I) ⟶ Type
8. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.<A1, A2>(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
9. ∀I:Cname List. ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a))
10. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A I a.
      ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A K (f o g)(a)))
11. s : A:cat-ob(NameCat) ⟶ (cat-arrow(TypeCat) (Delta A) (X A))
12. ∀A,B:cat-ob(NameCat). ∀g:cat-arrow(NameCat) A B.
      ((cat-comp(TypeCat) (Delta A) (X A) (X B) (s A) (X A B g))
      = (cat-comp(TypeCat) (Delta A) (Delta B) (X B) (Delta A B g) (s B))
      ∈ (cat-arrow(TypeCat) (Delta A) (X B)))
13. X ⊢ <A1, A2>
14. X.<A1, A2> ⊢ <A, B1>
15. s ∈ Delta ⟶ X
16. I : Cname List
17. a : Delta(I)
18. u : A1 I (s)a
⊢ <s I a, u> = <s I a, u> ∈ X.<A1, A2>(I)
BY
{ TACTIC:(RepUR  ``cube-context-adjoin I-cube cubical-type-at functor-ob`` 0
          THEN EqCD
          THEN (Fold `member` 0 ORELSE Auto)) }

1
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
5. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a))
6. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a)))
7. A : I:(Cname List) ⟶ X.<A1, A2>(I) ⟶ Type
8. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.<A1, A2>(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
9. ∀I:Cname List. ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a))
10. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A I a.
      ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A K (f o g)(a)))
11. s : A:cat-ob(NameCat) ⟶ (cat-arrow(TypeCat) (Delta A) (X A))
12. ∀A,B:cat-ob(NameCat). ∀g:cat-arrow(NameCat) A B.
      ((cat-comp(TypeCat) (Delta A) (X A) (X B) (s A) (X A B g))
      = (cat-comp(TypeCat) (Delta A) (Delta B) (X B) (Delta A B g) (s B))
      ∈ (cat-arrow(TypeCat) (Delta A) (X B)))
13. X ⊢ <A1, A2>
14. X.<A1, A2> ⊢ <A, B1>
15. s ∈ Delta ⟶ X
16. I : Cname List
17. a : Delta(I)
18. u : A1 I (s)a
⊢ s I a ∈ (fst(X)) I

2
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
5. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a))
6. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a)))
7. A : I:(Cname List) ⟶ X.<A1, A2>(I) ⟶ Type
8. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.<A1, A2>(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
9. ∀I:Cname List. ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a))
10. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A I a.
      ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A K (f o g)(a)))
11. s : A:cat-ob(NameCat) ⟶ (cat-arrow(TypeCat) (Delta A) (X A))
12. ∀A,B:cat-ob(NameCat). ∀g:cat-arrow(NameCat) A B.
      ((cat-comp(TypeCat) (Delta A) (X A) (X B) (s A) (X A B g))
      = (cat-comp(TypeCat) (Delta A) (Delta B) (X B) (Delta A B g) (s B))
      ∈ (cat-arrow(TypeCat) (Delta A) (X B)))
13. X ⊢ <A1, A2>
14. X.<A1, A2> ⊢ <A, B1>
15. s ∈ Delta ⟶ X
16. I : Cname List
17. a : Delta(I)
18. u : A1 I (s)a
⊢ u ∈ A1 I (s I a)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  Delta  :  CubicalSet
3.  A1  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  X(I)  {}\mrightarrow{}  Type
4.  A2  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  J:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (A1  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A1  J  f(a))
5.  \mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.    ((A2  I  I  1  a  u)  =  u)
6.  \mforall{}I,J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.
          ((A2  I  K  (f  o  g)  a  u)  =  (A2  J  K  g  f(a)  (A2  I  J  f  a  u)))
7.  A  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  X.<A1,  A2>(I)  {}\mrightarrow{}  Type
8.  B1  :  I:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  J:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)
{}\mrightarrow{}  a:X.<A1,  A2>(I)
{}\mrightarrow{}  (A  I  a)
{}\mrightarrow{}  (A  J  f(a))
9.  \mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X.<A1,  A2>(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((B1  I  I  1  a  u)  =  u)
10.  \mforall{}I,J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}a:X.<A1,  A2>(I).  \mforall{}u:A  I  a.
            ((B1  I  K  (f  o  g)  a  u)  =  (B1  J  K  g  f(a)  (B1  I  J  f  a  u)))
11.  s  :  A:cat-ob(NameCat)  {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(TypeCat)  (Delta  A)  (X  A))
12.  \mforall{}A,B:cat-ob(NameCat).  \mforall{}g:cat-arrow(NameCat)  A  B.
            ((cat-comp(TypeCat)  (Delta  A)  (X  A)  (X  B)  (s  A)  (X  A  B  g))
            =  (cat-comp(TypeCat)  (Delta  A)  (Delta  B)  (X  B)  (Delta  A  B  g)  (s  B)))
13.  X  \mvdash{}  <A1,  A2>
14.  X.<A1,  A2>  \mvdash{}  <A,  B1>
15.  s  \mmember{}  Delta  {}\mrightarrow{}  X
16.  I  :  Cname  List
17.  a  :  Delta(I)
18.  u  :  A1  I  (s)a
\mvdash{}  <s  I  a,  u>  =  <s  I  a,  u>


By

---

Latex:
TACTIC:(RepUR    ``cube-context-adjoin  I-cube  cubical-type-at  functor-ob``  0
                THEN  EqCD
                THEN  (Fold  `member`  0  ORELSE  Auto))

---

Home Index