---

Step * 2 1 of Lemma cubical-fst_wf


1. X : CubicalSet
2. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
3. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
4. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a))
5. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a)))
6. B : {X.<A1, A2> ⊢ _}
7. p : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ ((fst(Σ <A1, A2> B)) I a)
8. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).
     (<(fst((p I a)) a f), (snd((p I a)) (a;fst((p I a))) f)> = (p J f(a)) ∈ (u:<A1, A2>(f(a)) × B((f(a);u))))
9. X ⊢ <A1, A2>
10. I : Cname List
11. J : Cname List
12. f : name-morph(I;J)
13. a : X(I)
14. <(fst((p I a)) a f), (snd((p I a)) (a;fst((p I a))) f)> = (p J f(a)) ∈ (u:<A1, A2>(f(a)) × B((f(a);u)))
⊢ (A2 I J f a (fst((p I a)))) = (fst((p J f(a)))) ∈ (A1 J f(a))
BY
{ ((RepeatFor 2 (DVar `B') THEN RepUR ``cubical-type-at`` -1)
   THEN (ApFunToHypEquands `Z' ⌜fst(Z)⌝ ⌜A1 J f(a)⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN RepUR ``cubical-type-ap-morph`` -1
   THEN Trivial) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A1  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  X(I)  {}\mrightarrow{}  Type
3.  A2  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  J:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (A1  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A1  J  f(a))
4.  \mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.    ((A2  I  I  1  a  u)  =  u)
5.  \mforall{}I,J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.
          ((A2  I  K  (f  o  g)  a  u)  =  (A2  J  K  g  f(a)  (A2  I  J  f  a  u)))
6.  B  :  \{X.<A1,  A2>  \mvdash{}  \_\}
7.  p  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  ((fst(\mSigma{}  <A1,  A2>  B))  I  a)
8.  \mforall{}I,J:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}a:X(I).
          (<(fst((p  I  a))  a  f),  (snd((p  I  a))  (a;fst((p  I  a)))  f)>  =  (p  J  f(a)))
9.  X  \mvdash{}  <A1,  A2>
10.  I  :  Cname  List
11.  J  :  Cname  List
12.  f  :  name-morph(I;J)
13.  a  :  X(I)
14.  <(fst((p  I  a))  a  f),  (snd((p  I  a))  (a;fst((p  I  a)))  f)>  =  (p  J  f(a))
\mvdash{}  (A2  I  J  f  a  (fst((p  I  a))))  =  (fst((p  J  f(a))))


By

---

Latex:
((RepeatFor  2  (DVar  `B')  THEN  RepUR  ``cubical-type-at``  -1)
  THEN  (ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}fst(Z)\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}A1  J  f(a)\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``cubical-type-ap-morph``  -1
  THEN  Trivial)

---

Home Index