---

Step * 1 1 2 1 1 1 of Lemma extend-A-open-box_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. alpha : X(I)
5. J : Cname List
6. x : nameset(I)
7. i : ℕ2
8. bx : A-face(X;A;I;alpha) List
9. ¬(x ∈ J)
10. l_subset(Cname;J;I)
11. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
13. (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
14. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
15. (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. ∀i:ℕ||bx||. ∀j:ℕi.  A-face-compatible(X;A;I;alpha;bx[j];bx[i])
17. f1 : A-face(X;A;I;alpha)
18. f2 : A-face(X;A;I;alpha)
19. z : Cname
20. (z ∈ I)
21. ¬(z ∈ J)
22. A-face-name(f1) = <z, 0> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
23. A-face-name(f2) = <z, 1> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
24. ¬(x = z ∈ Cname)
25. (∀f∈bx.A-face-compatible(X;A;I;alpha;f1;f) ∧ A-face-compatible(X;A;I;alpha;f2;f))
26. k : ℕ||[f1; [f2 / bx]]||
27. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
28. k = 1 ∈ ℤ
29. j : ℕ1
⊢ A-face-compatible(X;A;I;alpha;f1;f2)
BY
{ ((DVar `f1' THEN DVar `f2')
   THEN DVar `f3'
   THEN DVar `f4'
   THEN ∀h:hyp. (Unfold `A-face-name` h THEN Reduce h THEN (EqHD h THENA Auto) THEN Reduce h THEN HypSubst' h 0) 
   THEN RepUR ``A-face-compatible`` 0
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  I  :  Cname  List
4.  alpha  :  X(I)
5.  J  :  Cname  List
6.  x  :  nameset(I)
7.  i  :  \mBbbN{}2
8.  bx  :  A-face(X;A;I;alpha)  List
9.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
10.  l\_subset(Cname;J;I)
11.  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <y,  c>)
12.  (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <x,  i>)
13.  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(A-face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
14.  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
15.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(A-face-name(f1)  =  A-face-name(f2)))
16.  \mforall{}i:\mBbbN{}||bx||.  \mforall{}j:\mBbbN{}i.    A-face-compatible(X;A;I;alpha;bx[j];bx[i])
17.  f1  :  A-face(X;A;I;alpha)
18.  f2  :  A-face(X;A;I;alpha)
19.  z  :  Cname
20.  (z  \mmember{}  I)
21.  \mneg{}(z  \mmember{}  J)
22.  A-face-name(f1)  =  <z,  0>
23.  A-face-name(f2)  =  <z,  1>
24.  \mneg{}(x  =  z)
25.  (\mforall{}f\mmember{}bx.A-face-compatible(X;A;I;alpha;f1;f)  \mwedge{}  A-face-compatible(X;A;I;alpha;f2;f))
26.  k  :  \mBbbN{}||[f1;  [f2  /  bx]]||
27.  \mneg{}(k  =  0)
28.  k  =  1
29.  j  :  \mBbbN{}1
\mvdash{}  A-face-compatible(X;A;I;alpha;f1;f2)


By

---

Latex:
((DVar  `f1'  THEN  DVar  `f2')
  THEN  DVar  `f3'
  THEN  DVar  `f4'
  THEN  \mforall{}h:hyp.  (Unfold  `A-face-name`  h
                              THEN  Reduce  h
                              THEN  (EqHD  h  THENA  Auto)
                              THEN  Reduce  h
                              THEN  HypSubst'  h  0) 
  THEN  RepUR  ``A-face-compatible``  0
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  Auto)

---

Home Index