---

Step * 2 3 of Lemma extend-A-open-box_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. alpha : X(I)
5. J : Cname List
6. x : nameset(I)
7. i : ℕ2
8. bx : A-face(X;A;I;alpha) List
9. A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
10. ¬(x ∈ J)
11. l_subset(Cname;J;I)
12. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
13. (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
14. (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
17. f1 : A-face(X;A;I;alpha)
18. f2 : A-face(X;A;I;alpha)
19. z : Cname
20. (z ∈ I)
21. ¬(z ∈ J)
22. A-face-name(f1) = <z, 0> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
23. A-face-name(f2) = <z, 1> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
24. ¬(x = z ∈ Cname)
25. (∀f∈bx.A-face-compatible(X;A;I;alpha;f1;f) ∧ A-face-compatible(X;A;I;alpha;f2;f))
⊢ (∀f∈[f1; [f2 / bx]].(fst(f) ∈ [x; [z / J]]))
BY
{ (D 0 THENA Auto) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. alpha : X(I)
5. J : Cname List
6. x : nameset(I)
7. i : ℕ2
8. bx : A-face(X;A;I;alpha) List
9. A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
10. ¬(x ∈ J)
11. l_subset(Cname;J;I)
12. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
13. (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
14. (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
17. f1 : A-face(X;A;I;alpha)
18. f2 : A-face(X;A;I;alpha)
19. z : Cname
20. (z ∈ I)
21. ¬(z ∈ J)
22. A-face-name(f1) = <z, 0> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
23. A-face-name(f2) = <z, 1> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
24. ¬(x = z ∈ Cname)
25. (∀f∈bx.A-face-compatible(X;A;I;alpha;f1;f) ∧ A-face-compatible(X;A;I;alpha;f2;f))
26. i1 : ℕ||[f1; [f2 / bx]]||
⊢ (fst([f1; [f2 / bx]][i1]) ∈ [x; [z / J]])

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  I  :  Cname  List
4.  alpha  :  X(I)
5.  J  :  Cname  List
6.  x  :  nameset(I)
7.  i  :  \mBbbN{}2
8.  bx  :  A-face(X;A;I;alpha)  List
9.  A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
10.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
11.  l\_subset(Cname;J;I)
12.  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <y,  c>)
13.  (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <x,  i>)
14.  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(A-face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
15.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(A-face-name(f1)  =  A-face-name(f2)))
16.  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
17.  f1  :  A-face(X;A;I;alpha)
18.  f2  :  A-face(X;A;I;alpha)
19.  z  :  Cname
20.  (z  \mmember{}  I)
21.  \mneg{}(z  \mmember{}  J)
22.  A-face-name(f1)  =  <z,  0>
23.  A-face-name(f2)  =  <z,  1>
24.  \mneg{}(x  =  z)
25.  (\mforall{}f\mmember{}bx.A-face-compatible(X;A;I;alpha;f1;f)  \mwedge{}  A-face-compatible(X;A;I;alpha;f2;f))
\mvdash{}  (\mforall{}f\mmember{}[f1;  [f2  /  bx]].(fst(f)  \mmember{}  [x;  [z  /  J]]))


By

---

Latex:
(D  0  THENA  Auto)

---

Home Index