---

Step * 1 1 4 2 1 of Lemma groupoid-edges-commute1


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(I)
5. (j ∈ J)
6. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
7. x : nameset(I)
8. i : ℤ
9. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;1)
10. f : name-morph(I;[])
11. f x ≠ 1
12. a : nameset(I)
13. flip(f;a) x ≠ 1
14. ¬(a = j ∈ Cname)
15. (f a) = 0 ∈ ℕ2
16. (f j) = 0 ∈ ℕ2
17. ¬(x = j ∈ Cname)
18. i = 1 ∈ ℤ
19. (f x) = 0 ∈ ℕ2
20. (flip(f;a) x) = 0 ∈ ℕ2
⊢ (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;flip(f;a));nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j));
   nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;a);j);x));
   nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);j);x);nerve_box_edge(box;flip(f;a);x);nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j)))
= (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;j)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);a)) 
   groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;f);nerve_box_label(box;flip(f;j));
   nerve_box_label(box;flip(f;x));nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);x));nerve_box_edge(box;flip(f;j);x);
   nerve_box_edge(box;f;x);nerve_box_edge(box;flip(f;x);j)) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;j);a))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)))
BY
{ (Assert ¬(x = a ∈ Cname) BY
         ((D 0 THENA Auto) THEN Eliminate ⌜a⌝⋅ THEN Subst' (flip(f;x) x) = 1 ∈ ℕ2 -2 THEN Auto)) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(I)
5. (j ∈ J)
6. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
7. x : nameset(I)
8. i : ℤ
9. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;1)
10. f : name-morph(I;[])
11. f x ≠ 1
12. a : nameset(I)
13. flip(f;a) x ≠ 1
14. ¬(a = j ∈ Cname)
15. (f a) = 0 ∈ ℕ2
16. (f j) = 0 ∈ ℕ2
17. ¬(x = j ∈ Cname)
18. i = 1 ∈ ℤ
19. (f x) = 0 ∈ ℕ2
20. (flip(f;a) x) = 0 ∈ ℕ2
21. ¬(x = a ∈ Cname)
⊢ (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;flip(f;a));nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j));
   nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;a);j);x));
   nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);j);x);nerve_box_edge(box;flip(f;a);x);nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j)))
= (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;j)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);a)) 
   groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;f);nerve_box_label(box;flip(f;j));
   nerve_box_label(box;flip(f;x));nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);x));nerve_box_edge(box;flip(f;j);x);
   nerve_box_edge(box;f;x);nerve_box_edge(box;flip(f;x);j)) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;j);a))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  j  :  nameset(I)
5.  (j  \mmember{}  J)
6.  (\mforall{}j'\mmember{}J.j'  =  j)
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbZ{}
9.  box  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;1)
10.  f  :  name-morph(I;[])
11.  f  x  \mneq{}  1
12.  a  :  nameset(I)
13.  flip(f;a)  x  \mneq{}  1
14.  \mneg{}(a  =  j)
15.  (f  a)  =  0
16.  (f  j)  =  0
17.  \mneg{}(x  =  j)
18.  i  =  1
19.  (f  x)  =  0
20.  (flip(f;a)  x)  =  0
\mvdash{}  (cat-comp(cat(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);j)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;a) 
      groupoid-square2(G;nerve\_box\_label(box;flip(f;a));nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);j));
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve\_box\_label(box;flip(flip(flip(f;a);j);x));
      nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;a);j);x);nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);x);
      nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;a);x);j)))
=  (cat-comp(cat(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;j)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;j);a)) 
      groupoid-square2(G;nerve\_box\_label(box;f);nerve\_box\_label(box;flip(f;j));
      nerve\_box\_label(box;flip(f;x));nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;j);x));
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;j);x);nerve\_box\_edge(box;f;x);nerve\_box\_edge(box;flip(f;x);j)) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;j);a))


By

---

Latex:
(Assert  \mneg{}(x  =  a)  BY
              ((D  0  THENA  Auto)  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Subst'  (flip(f;x)  x)  =  1  -2  THEN  Auto))

---

Home Index