---

Step * 2 1 2 1 2 1 of Lemma groupoid-nerve-filler-uniform


1. G : Groupoid
2. True
3. I : Cname List
4. J : nameset(I) List
5. ¬(J = [] ∈ (nameset(I) List))
6. x : nameset(I)
7. i : ℕ2
8. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
9. K : Cname List
10. f : name-morph(I;K)
11. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
12. ↑isname(f x)
13. ¬False
14. f ∈ nameset(J) ⟶ nameset(K)
15. map(f;J) ∈ nameset(K) List
16. f x ∈ nameset(K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. ¬↑null(J)
19. ¬↑null(map(f;J))
20. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));K;map(f;J);f x;i)
21. open_box_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx) = box ∈ open_box(cubical-nerve(cat(G));K;map(f;J);f x;i)
22. ∀f1:name-morph(K;[]). (nerve_box_label(bx;(f o f1)) = nerve_box_label(box;f1) ∈ cat-ob(cat(G)))
23. ||bx|| = ||box|| ∈ ℤ
24. 3 < ||bx||
25. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
26. 3 < ||box||
27. (∃j1∈map(f;J). (∃j2∈map(f;J). ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
28. 3 < ||box||
29. ∀f1:name-morph(K;[]). (nerve_box_label(bx;(f o f1)) = nerve_box_label(box;f1) ∈ cat-ob(cat(G)))
30. k : nameset(K)
31. f1 : {f:name-morph(K;[])| (f k) = 0 ∈ ℕ2} 
⊢ poset_functor_extend(cat(G);I;λc.nerve_box_label(bx;c);λy,c. nerve_box_edge(bx;c;y);(f o f1);(f o flip(f1;k)))
= poset_functor_extend(cat(G);K;λc.nerve_box_label(box;c);λy,c. nerve_box_edge(box;c;y);f1;flip(f1;k))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;(f o f1)) nerve_box_label(bx;(f o flip(f1;k))))
BY
{ ((InstLemma `poset_functor_extend-flip` [⌜cat(G)⌝;⌜K⌝;⌜λc.nerve_box_label(box;c)⌝;⌜λy,c. nerve_box_edge(box;c;y)⌝;⌜k⌝;\000C⌜f1⌝
    ]⋅
    THENA (Reduce 0 THEN Auto)
    )
   THEN Reduce (-1)
   THEN Symmetry
   THEN NthHypEq (-1)
   THEN EqCD
   THEN Try ((Fold `member` 0 THEN Auto))
   THEN Try (TrueCD)
   THEN Try ((RepeatFor 2 ((EqCD THEN Try (BackThruSomeHyp))) THEN Auto))
   THEN Thin (-1)) }

1
1. G : Groupoid
2. True
3. I : Cname List
4. J : nameset(I) List
5. ¬(J = [] ∈ (nameset(I) List))
6. x : nameset(I)
7. i : ℕ2
8. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
9. K : Cname List
10. f : name-morph(I;K)
11. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
12. ↑isname(f x)
13. ¬False
14. f ∈ nameset(J) ⟶ nameset(K)
15. map(f;J) ∈ nameset(K) List
16. f x ∈ nameset(K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. ¬↑null(J)
19. ¬↑null(map(f;J))
20. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));K;map(f;J);f x;i)
21. open_box_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx) = box ∈ open_box(cubical-nerve(cat(G));K;map(f;J);f x;i)
22. ∀f1:name-morph(K;[]). (nerve_box_label(bx;(f o f1)) = nerve_box_label(box;f1) ∈ cat-ob(cat(G)))
23. ||bx|| = ||box|| ∈ ℤ
24. 3 < ||bx||
25. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
26. 3 < ||box||
27. (∃j1∈map(f;J). (∃j2∈map(f;J). ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
28. 3 < ||box||
29. ∀f1:name-morph(K;[]). (nerve_box_label(bx;(f o f1)) = nerve_box_label(box;f1) ∈ cat-ob(cat(G)))
30. k : nameset(K)
31. f1 : {f:name-morph(K;[])| (f k) = 0 ∈ ℕ2} 
⊢ poset_functor_extend(cat(G);I;λc.nerve_box_label(bx;c);λy,c. nerve_box_edge(bx;c;y);(f o f1);(f o flip(f1;k)))
= nerve_box_edge(box;f1;k)
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;(f o f1)) nerve_box_label(bx;(f o flip(f1;k))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  True
3.  I  :  Cname  List
4.  J  :  nameset(I)  List
5.  \mneg{}(J  =  [])
6.  x  :  nameset(I)
7.  i  :  \mBbbN{}2
8.  bx  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
9.  K  :  Cname  List
10.  f  :  name-morph(I;K)
11.  \mforall{}i:nameset(I).  ((i  \mmember{}  J)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  i)))
12.  \muparrow{}isname(f  x)
13.  \mneg{}False
14.  f  \mmember{}  nameset(J)  {}\mrightarrow{}  nameset(K)
15.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
16.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
17.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
18.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
19.  \mneg{}\muparrow{}null(map(f;J))
20.  box  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));K;map(f;J);f  x;i)
21.  open\_box\_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx)  =  box
22.  \mforall{}f1:name-morph(K;[]).  (nerve\_box\_label(bx;(f  o  f1))  =  nerve\_box\_label(box;f1))
23.  ||bx||  =  ||box||
24.  3  <  ||bx||
25.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
26.  3  <  ||box||
27.  (\mexists{}j1\mmember{}map(f;J).  (\mexists{}j2\mmember{}map(f;J).  \mneg{}(j1  =  j2)))
28.  3  <  ||box||
29.  \mforall{}f1:name-morph(K;[]).  (nerve\_box\_label(bx;(f  o  f1))  =  nerve\_box\_label(box;f1))
30.  k  :  nameset(K)
31.  f1  :  \{f:name-morph(K;[])|  (f  k)  =  0\} 
\mvdash{}  poset\_functor\_extend(cat(G);I;\mlambda{}c.nerve\_box\_label(bx;c);
                                              \mlambda{}y,c.  nerve\_box\_edge(bx;c;y);(f  o  f1);(f  o  flip(f1;k)))
=  poset\_functor\_extend(cat(G);K;\mlambda{}c.nerve\_box\_label(box;c);\mlambda{}y,c.  nerve\_box\_edge(box;c;y);f1;flip(f1;k\000C))


By

---

Latex:
((InstLemma  `poset\_functor\_extend-flip`  [\mkleeneopen{}cat(G)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}c.nerve\_box\_label(box;c)\mkleeneclose{};
    \mkleeneopen{}\mlambda{}y,c.  nerve\_box\_edge(box;c;y)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  (Reduce  0  THEN  Auto)
    )
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  Symmetry
  THEN  NthHypEq  (-1)
  THEN  EqCD
  THEN  Try  ((Fold  `member`  0  THEN  Auto))
  THEN  Try  (TrueCD)
  THEN  Try  ((RepeatFor  2  ((EqCD  THEN  Try  (BackThruSomeHyp)))  THEN  Auto))
  THEN  Thin  (-1))

---

Home Index