---

Step * of Lemma nerve_box_label_same

∀[C:SmallCategory]. ∀[I:Cname List]. ∀[J:nameset(I) List]. ∀[x:nameset(I)]. ∀[i:ℕ2].
∀[box:open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)]. ∀[L:name-morph(I;[])].
  ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
    ((ob(cube(f)) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
       ((f ∈ box) and 
       (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)) 
  supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
BY
{ (Auto THEN Unfold `nerve_box_label` 0 THEN (GenConclTerm ⌜nerve-box-face(box;L)⌝⋅ THENA Auto) THEN D -2) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. L : name-morph(I;[])
8. ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
9. f : I-face(cubical-nerve(C);I)
10. direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2
11. (f ∈ box)
12. v : I-face(cubical-nerve(C);I)
13. (v ∈ box) ∧ (direction(v) = (L dimension(v)) ∈ ℕ2)
14. nerve-box-face(box;L) = v ∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
⊢ (ob(cube(f)) L) = (ob(cube(v)) L) ∈ cat-ob(C)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[C:SmallCategory].  \mforall{}[I:Cname  List].  \mforall{}[J:nameset(I)  List].  \mforall{}[x:nameset(I)].  \mforall{}[i:\mBbbN{}2].
\mforall{}[box:open\_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)].  \mforall{}[L:name-morph(I;[])].
    \mforall{}f:I-face(cubical-nerve(C);I)
        ((ob(cube(f))  L)  =  nerve\_box\_label(box;L))  supposing 
              ((f  \mmember{}  box)  and 
              (direction(f)  =  (L  dimension(f)))) 
    supposing  ((L  x)  =  i)  \mvee{}  (\mneg{}\muparrow{}null(J))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  Unfold  `nerve\_box\_label`  0
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}nerve-box-face(box;L)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -2)

---

Home Index