---

Step * 1 of Lemma nerve_box_label_same


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. L : name-morph(I;[])
8. ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
9. f : I-face(cubical-nerve(C);I)
10. direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2
11. (f ∈ box)
12. v : I-face(cubical-nerve(C);I)
13. (v ∈ box) ∧ (direction(v) = (L dimension(v)) ∈ ℕ2)
14. nerve-box-face(box;L) = v ∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
⊢ (ob(cube(f)) L) = (ob(cube(v)) L) ∈ cat-ob(C)
BY
{ (Decide ⌜dimension(v) = dimension(f) ∈ Cname⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. L : name-morph(I;[])
8. ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
9. f : I-face(cubical-nerve(C);I)
10. direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2
11. (f ∈ box)
12. v : I-face(cubical-nerve(C);I)
13. (v ∈ box) ∧ (direction(v) = (L dimension(v)) ∈ ℕ2)
14. nerve-box-face(box;L) = v ∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
15. dimension(v) = dimension(f) ∈ Cname
⊢ (ob(cube(f)) L) = (ob(cube(v)) L) ∈ cat-ob(C)

2
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. L : name-morph(I;[])
8. ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
9. f : I-face(cubical-nerve(C);I)
10. direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2
11. (f ∈ box)
12. v : I-face(cubical-nerve(C);I)
13. (v ∈ box) ∧ (direction(v) = (L dimension(v)) ∈ ℕ2)
14. nerve-box-face(box;L) = v ∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
15. ¬(dimension(v) = dimension(f) ∈ Cname)
⊢ (ob(cube(f)) L) = (ob(cube(v)) L) ∈ cat-ob(C)

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  open\_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7.  L  :  name-morph(I;[])
8.  ((L  x)  =  i)  \mvee{}  (\mneg{}\muparrow{}null(J))
9.  f  :  I-face(cubical-nerve(C);I)
10.  direction(f)  =  (L  dimension(f))
11.  (f  \mmember{}  box)
12.  v  :  I-face(cubical-nerve(C);I)
13.  (v  \mmember{}  box)  \mwedge{}  (direction(v)  =  (L  dimension(v)))
14.  nerve-box-face(box;L)  =  v
\mvdash{}  (ob(cube(f))  L)  =  (ob(cube(v))  L)


By

---

Latex:
(Decide  \mkleeneopen{}dimension(v)  =  dimension(f)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index