---

Step * 1 1 of Lemma non-trivial-open-box


1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : I-face(X;I) List
7. adjacent-compatible(X;I;bx)
8. ¬(x ∈ J)
9. l_subset(Cname;J;I)
10. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
11. (∃f∈bx. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∀f∈bx.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
14. (∀f1,f2∈bx.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. y : nameset(J)
16. c : ℕ2
17. filter(λf.((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c));bx) ∈ {x:{f:I-face(X;I)| (f ∈ bx)} | 
                                                                  ↑((dimension(x) =z y) ∧b (direction(x) =z c))}  List
18. v : {x:{f:I-face(X;I)| (f ∈ bx)} | ↑((dimension(x) =z y) ∧b (direction(x) =z c))}  List
19. filter(λf.((dimension(f) =z y) ∧b (direction(f) =z c));bx)
= v
∈ ({x:{f:I-face(X;I)| (f ∈ bx)} | ↑((dimension(x) =z y) ∧b (direction(x) =z c))}  List)
20. i1 : ℕ||bx||
21. face-name(bx[i1]) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
⊢ (∃x∈bx. ↑((dimension(x) =z y) ∧b (direction(x) =z c)))
BY
{ (RepUR ``face-name`` -1
   THEN (EqHD (-1) THENA Auto)
   THEN With ⌜i1⌝ (D 0)⋅
   THEN Auto
   THEN (All Reduce THEN All (Fold `face-direction`) THEN All (Fold `face-dimension`))
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  bx  :  I-face(X;I)  List
7.  adjacent-compatible(X;I;bx)
8.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
9.  l\_subset(Cname;J;I)
10.  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  face-name(f)  =  <y,  c>)
11.  (\mexists{}f\mmember{}bx.  face-name(f)  =  <x,  i>)
12.  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
13.  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
14.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(face-name(f1)  =  face-name(f2)))
15.  y  :  nameset(J)
16.  c  :  \mBbbN{}2
17.  filter(\mlambda{}f.((dimension(f)  =\msubz{}  y)  \mwedge{}\msubb{}  (direction(f)  =\msubz{}  c));bx)  \mmember{}  \{x:\{f:I-face(X;I)|  (f  \mmember{}  bx)\}  | 
                                                                                                                                    \muparrow{}((dimension(x)  =\msubz{}  y)
                                                                                                                                    \mwedge{}\msubb{}  (direction(x)  =\msubz{}  c))\}    List
18.  v  :  \{x:\{f:I-face(X;I)|  (f  \mmember{}  bx)\}  |  \muparrow{}((dimension(x)  =\msubz{}  y)  \mwedge{}\msubb{}  (direction(x)  =\msubz{}  c))\}    List
19.  filter(\mlambda{}f.((dimension(f)  =\msubz{}  y)  \mwedge{}\msubb{}  (direction(f)  =\msubz{}  c));bx)  =  v
20.  i1  :  \mBbbN{}||bx||
21.  face-name(bx[i1])  =  <y,  c>
\mvdash{}  (\mexists{}x\mmember{}bx.  \muparrow{}((dimension(x)  =\msubz{}  y)  \mwedge{}\msubb{}  (direction(x)  =\msubz{}  c)))


By

---

Latex:
(RepUR  ``face-name``  -1
  THEN  (EqHD  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  With  \mkleeneopen{}i1\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (All  Reduce  THEN  All  (Fold  `face-direction`)  THEN  All  (Fold  `face-dimension`))
  THEN  Auto)

---

Home Index