---

Step * 1 1 1 of Lemma open_box_image_wf


1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : Cname List
4. K : Cname List
5. f : name-morph(I;K)
6. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
7. x : nameset(I)
8. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
9. i : ℕ2
10. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
11. bx : I-face(X;I) List
12. adjacent-compatible(X;I;bx)
∧ (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
17. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
⊢ open_box_image(X;I;K;f;bx) ∈ open_box(X;K;map(f;J);f x;i)
BY
{ MemTypeCD }

1
1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : Cname List
4. K : Cname List
5. f : name-morph(I;K)
6. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
7. x : nameset(I)
8. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
9. i : ℕ2
10. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
11. bx : I-face(X;I) List
12. adjacent-compatible(X;I;bx)
∧ (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
17. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
⊢ open_box_image(X;I;K;f;bx) ∈ I-face(X;K) List

2
.....set predicate..... 
1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : Cname List
4. K : Cname List
5. f : name-morph(I;K)
6. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
7. x : nameset(I)
8. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
9. i : ℕ2
10. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
11. bx : I-face(X;I) List
12. adjacent-compatible(X;I;bx)
∧ (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
17. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
⊢ adjacent-compatible(X;K;open_box_image(X;I;K;f;bx))
∧ (¬(f x ∈ map(f;J)))
∧ l_subset(Cname;map(f;J);K)
∧ ((∀y:nameset(map(f;J)). ∀c:ℕ2.  (∃f∈open_box_image(X;I;K;f;bx). face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(K) × ℕ2)))
  ∧ (∃f@0∈open_box_image(X;I;K;f;bx). face-name(f@0) = <f x, i> ∈ (nameset(K) × ℕ2))
  ∧ (∀f@0∈open_box_image(X;I;K;f;bx).¬(face-name(f@0) = <f x, 1 - i> ∈ (nameset(K) × ℕ2))))
∧ (∀f@0∈open_box_image(X;I;K;f;bx).(fst(f@0) ∈ [f x / map(f;J)]))
∧ (∀f1,f2∈open_box_image(X;I;K;f;bx).  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(K) × ℕ2)))

3
.....wf..... 
1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : Cname List
4. K : Cname List
5. f : name-morph(I;K)
6. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
7. x : nameset(I)
8. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
9. i : ℕ2
10. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
11. bx : I-face(X;I) List
12. adjacent-compatible(X;I;bx)
∧ (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
17. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
18. L : I-face(X;K) List
⊢ adjacent-compatible(X;K;L)
  ∧ (¬(f x ∈ map(f;J)))
  ∧ l_subset(Cname;map(f;J);K)
  ∧ ((∀y:nameset(map(f;J)). ∀c:ℕ2.  (∃f∈L. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(K) × ℕ2)))
    ∧ (∃f@0∈L. face-name(f@0) = <f x, i> ∈ (nameset(K) × ℕ2))
    ∧ (∀f@0∈L.¬(face-name(f@0) = <f x, 1 - i> ∈ (nameset(K) × ℕ2))))
  ∧ (∀f@0∈L.(fst(f@0) ∈ [f x / map(f;J)]))
  ∧ (∀f1,f2∈L.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(K) × ℕ2))) ∈ 𝕌'

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  Cname  List
4.  K  :  Cname  List
5.  f  :  name-morph(I;K)
6.  nameset(map(f;J))  \msubseteq{}r  nameset(K)
7.  x  :  nameset(I)
8.  \mforall{}x:nameset([x  /  J]).  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
9.  i  :  \mBbbN{}2
10.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
11.  bx  :  I-face(X;I)  List
12.  adjacent-compatible(X;I;bx)
\mwedge{}  (\mneg{}(x  \mmember{}  J))
\mwedge{}  l\_subset(Cname;J;I)
\mwedge{}  ((\mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  face-name(f)  =  <y,  c>))
    \mwedge{}  (\mexists{}f\mmember{}bx.  face-name(f)  =  <x,  i>)
    \mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(face-name(f)  =  <x,  1  -  i>)))
\mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
\mwedge{}  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(face-name(f1)  =  face-name(f2)))
13.  \mforall{}x:nameset(J).  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
14.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
15.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
16.  \mforall{}fc:I-face(X;I).  ((fc  \mmember{}  bx)  {}\mRightarrow{}  (fst(fc)  \mmember{}  [x  /  J]))
17.  \mforall{}fc:I-face(X;I).  ((fc  \mmember{}  bx)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  (fst(fc)))))
\mvdash{}  open\_box\_image(X;I;K;f;bx)  \mmember{}  open\_box(X;K;map(f;J);f  x;i)


By

---

Latex:
MemTypeCD

---

Home Index