---

Step * 2 1 2 of Lemma poset-functor-extends-box-faces


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
15. (bx[i1] ∈ bx)
16. direction(bx[i1]) = (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) dimension(bx[i1])) ∈ ℕ2
⊢ direction(bx[i1]) = (flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2) dimension(bx[i1])) ∈ ℕ2
BY
{ (RepUR ``name-comp face-map name-morph-flip`` 0 THEN (BoolCase ⌜eq-cname(dimension(bx[i1]);i2)⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
15. (bx[i1] ∈ bx)
16. direction(bx[i1]) = (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) dimension(bx[i1])) ∈ ℕ2
17. dimension(bx[i1]) = i2 ∈ Cname
⊢ direction(bx[i1]) = (1 - uext(c) direction(bx[i1])) ∈ ℕ2

2
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. ¬(dimension(bx[i1]) = i2 ∈ Cname)
13. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
14. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
15. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
16. (bx[i1] ∈ bx)
17. direction(bx[i1]) = (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) dimension(bx[i1])) ∈ ℕ2
⊢ direction(bx[i1]) = (uext(c) direction(bx[i1])) ∈ ℕ2

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  bx  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
8.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
9.  i1  :  \mBbbN{}||bx||
10.  \mforall{}f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])
            (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  f)  \mmember{}  name-morph(I;[]))
11.  i2  :  nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12.  c  :  \{c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])|  (c  i2)  =  0\} 
13.  ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  \mmember{}  name-morph(I;[])
14.  (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  i2)  =  0
15.  (bx[i1]  \mmember{}  bx)
16.  direction(bx[i1])  =  (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  dimension(bx[i1]))
\mvdash{}  direction(bx[i1])  =  (flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c);i2)  dimension(bx[i1]))


By

---

Latex:
(RepUR  ``name-comp  face-map  name-morph-flip``  0
  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}eq-cname(dimension(bx[i1]);i2)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  )

---

Home Index