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Step * 2 1 3 1 of Lemma poset-functor-extends-box-faces

.....subterm..... T:t
1:n
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
15. (cube(bx[i1]) ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2) 
     (λx.Ax))
= nerve_box_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)))
⊢ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o flip(c;i2))))
= (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)))
∈ Type
BY
{ (Symmetry THEN EqCD) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
15. (cube(bx[i1]) ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2) 
     (λx.Ax))
= nerve_box_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)))
⊢ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)))
= (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)))
∈ (y:cat-ob(cat(G)) ⟶ Type)

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
15. (cube(bx[i1]) ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2) 
     (λx.Ax))
= nerve_box_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)))
⊢ nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2))
= nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o flip(c;i2)))
∈ cat-ob(cat(G))

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Latex:

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Latex:
.....subterm.....  T:t
1:n
1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  bx  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
8.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
9.  i1  :  \mBbbN{}||bx||
10.  \mforall{}f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])
            (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  f)  \mmember{}  name-morph(I;[]))
11.  i2  :  nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12.  c  :  \{c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])|  (c  i2)  =  0\} 
13.  ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  \mmember{}  name-morph(I;[])
14.  (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  i2)  =  0
15.  (cube(bx[i1])  ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c) 
          flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c);i2) 
          (\mlambda{}x.Ax))
=  nerve\_box\_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c);i2)
\mvdash{}  (cat-arrow(cat(G))  nerve\_box\_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)) 
      nerve\_box\_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  flip(c;i2))))
=  (cat-arrow(cat(G))  nerve\_box\_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)) 
      nerve\_box\_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c);i2)))


By

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Latex:
(Symmetry  THEN  EqCD)

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