---

Step * 1 of Lemma poset_functor_extend-face-map1

.....assertion..... 
1. [C] : SmallCategory
2. [I] : Cname List
3. [L] : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. [E] : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. [y] : nameset(I)
6. [a] : ℕ2
⊢ ∀n:ℕ
    ∀[c1,c2:name-morph(I;[])].
      ((||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n)
      ⇒ poset_functor_extend(C;I;L;E;((y:=a) o c1);((y:=a) o c2))
         = poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));c1;c2)
         ∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o c2))) 
         supposing ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x)))
BY
{ (CompleteInductionOnNat THEN Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. y : nameset(I)
6. a : ℕ2
7. n : ℕ
8. ∀n:ℕn
     ∀[c1,c2:name-morph(I;[])].
       ((||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n)
       ⇒ poset_functor_extend(C;I;L;E;((y:=a) o c1);((y:=a) o c2))
          = poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));c1;c2)
          ∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o c2))) 
          supposing ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x)))
9. c1 : name-morph(I;[])
10. c2 : name-morph(I;[])
11. ||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n
12. ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x))
⊢ poset_functor_extend(C;I;L;E;((y:=a) o c1);((y:=a) o c2))
= poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));c1;c2)
∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o c2)))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [C]  :  SmallCategory
2.  [I]  :  Cname  List
3.  [L]  :  name-morph(I;[])  {}\mrightarrow{}  cat-ob(C)
4.  [E]  :  i:nameset(I)  {}\mrightarrow{}  c:\{c:name-morph(I;[])|  (c  i)  =  0\}    {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  (L  c)  (L  flip(c;i)))
5.  [y]  :  nameset(I)
6.  [a]  :  \mBbbN{}2
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}
        \mforall{}[c1,c2:name-morph(I;[])].
            ((||filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I)||  \mleq{}  n)
            {}\mRightarrow{}  poset\_functor\_extend(C;I;L;E;((y:=a)  o  c1);((y:=a)  o  c2))
                  =  poset\_functor\_extend(C;I-[y];L  o  (\mlambda{}f.((y:=a)  o  f));\mlambda{}z,f.  (E  z  ((y:=a)  o  f));c1;c2) 
                  supposing  \mforall{}x:nameset(I).  ((c1  x)  \mleq{}  (c2  x)))


By

---

Latex:
(CompleteInductionOnNat  THEN  Auto)

---

Home Index