---

Step * 1 1 2 2 1 of Lemma poset_functor_extend-face-map

.....antecedent..... 
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. y : nameset(I)
6. a : ℕ2
7. ∀[c1,c2:name-morph(I;[])].
     poset_functor_extend(C;I;L;E;((y:=a) o c1);((y:=a) o c2))
     = poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));c1;c2)
     ∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o c2))) 
     supposing ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x))
8. c1 : name-morph(I-[y];[])
9. c2 : name-morph(I-[y];[])
10. ∀x:nameset(I-[y]). ((c1 x) ≤ (c2 x))
11. poset_functor_extend(C;I;L;E;((y:=a) o ((y:=a) o c1));((y:=a) o ((y:=a) o c2)))
= poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));((y:=a) o c1);((y:=a) o c2))
∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o ((y:=a) o c1))) (L ((y:=a) o ((y:=a) o c2))))
⊢ ∀x:nameset(I). ((((y:=a) o c1) x) ≤ (((y:=a) o c2) x))
BY
{ (D 0 THENA Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. y : nameset(I)
6. a : ℕ2
7. ∀[c1,c2:name-morph(I;[])].
     poset_functor_extend(C;I;L;E;((y:=a) o c1);((y:=a) o c2))
     = poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));c1;c2)
     ∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o c2))) 
     supposing ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x))
8. c1 : name-morph(I-[y];[])
9. c2 : name-morph(I-[y];[])
10. ∀x:nameset(I-[y]). ((c1 x) ≤ (c2 x))
11. poset_functor_extend(C;I;L;E;((y:=a) o ((y:=a) o c1));((y:=a) o ((y:=a) o c2)))
= poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));((y:=a) o c1);((y:=a) o c2))
∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o ((y:=a) o c1))) (L ((y:=a) o ((y:=a) o c2))))
12. x : nameset(I)
⊢ (((y:=a) o c1) x) ≤ (((y:=a) o c2) x)

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  L  :  name-morph(I;[])  {}\mrightarrow{}  cat-ob(C)
4.  E  :  i:nameset(I)  {}\mrightarrow{}  c:\{c:name-morph(I;[])|  (c  i)  =  0\}    {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  (L  c)  (L  flip(c;i)))
5.  y  :  nameset(I)
6.  a  :  \mBbbN{}2
7.  \mforall{}[c1,c2:name-morph(I;[])].
          poset\_functor\_extend(C;I;L;E;((y:=a)  o  c1);((y:=a)  o  c2))
          =  poset\_functor\_extend(C;I-[y];L  o  (\mlambda{}f.((y:=a)  o  f));\mlambda{}z,f.  (E  z  ((y:=a)  o  f));c1;c2) 
          supposing  \mforall{}x:nameset(I).  ((c1  x)  \mleq{}  (c2  x))
8.  c1  :  name-morph(I-[y];[])
9.  c2  :  name-morph(I-[y];[])
10.  \mforall{}x:nameset(I-[y]).  ((c1  x)  \mleq{}  (c2  x))
11.  poset\_functor\_extend(C;I;L;E;((y:=a)  o  ((y:=a)  o  c1));((y:=a)  o  ((y:=a)  o  c2)))
=  poset\_functor\_extend(C;I-[y];L  o  (\mlambda{}f.((y:=a)  o  f));
                                              \mlambda{}z,f.  (E  z  ((y:=a)  o  f));((y:=a)  o  c1);((y:=a)  o  c2))
\mvdash{}  \mforall{}x:nameset(I).  ((((y:=a)  o  c1)  x)  \mleq{}  (((y:=a)  o  c2)  x))


By

---

Latex:
(D  0  THENA  Auto)

---

Home Index