---

Step * of Lemma same-face-edge-arrows-commute3

∀[C:SmallCategory]. ∀[I:Cname List]. ∀[J:nameset(I) List].
  ∀[x:nameset(I)]. ∀[i:ℕ2]. ∀[box:open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)].
    ∀f:name-morph(I;[]). ∀a,b:nameset(I).
      (cat-comp(C) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
       nerve_box_edge(box;f;a) 
       nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
      = (cat-comp(C) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
         nerve_box_edge(box;f;b) 
         nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
      ∈ (cat-arrow(C) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b))) 
      supposing (((¬(a = b ∈ nameset(I))) ∧ ((f a) = 0 ∈ ℕ2)) ∧ ((f b) = 0 ∈ ℕ2))
      ∧ (∃v:I-face(cubical-nerve(C);I)
          ((v ∈ box)
          ∧ (¬(dimension(v) = b ∈ Cname))
          ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname))
          ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))) 
  supposing (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
BY
{ (InstLemma `same-face-edge-arrows-commute2` []
   THEN RepeatFor 10 (ParallelLast')
   THEN Auto
   THEN ExRepD
   THEN InstHyp [⌜v⌝] 11⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[C:SmallCategory].  \mforall{}[I:Cname  List].  \mforall{}[J:nameset(I)  List].
    \mforall{}[x:nameset(I)].  \mforall{}[i:\mBbbN{}2].  \mforall{}[box:open\_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)].
        \mforall{}f:name-morph(I;[]).  \mforall{}a,b:nameset(I).
            (cat-comp(C)  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
              nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
              nerve\_box\_edge(box;f;a) 
              nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);b))
            =  (cat-comp(C)  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;b)) 
                  nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
                  nerve\_box\_edge(box;f;b) 
                  nerve\_box\_edge(box;flip(f;b);a)) 
            supposing  (((\mneg{}(a  =  b))  \mwedge{}  ((f  a)  =  0))  \mwedge{}  ((f  b)  =  0))
            \mwedge{}  (\mexists{}v:I-face(cubical-nerve(C);I)
                    ((v  \mmember{}  box)
                    \mwedge{}  (\mneg{}(dimension(v)  =  b))
                    \mwedge{}  (\mneg{}(dimension(v)  =  a))
                    \mwedge{}  (direction(v)  =  (f  dimension(v))))) 
    supposing  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))


By

---

Latex:
(InstLemma  `same-face-edge-arrows-commute2`  []
  THEN  RepeatFor  10  (ParallelLast')
  THEN  Auto
  THEN  ExRepD
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}]  11\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index