---

Step * 1 1 of Lemma sigma-box-fst_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha) List
10. A-adjacent-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx)
11. ¬(x ∈ J)
12. l_subset(Cname;J;I)
13. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
14. (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
15. (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
17. (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
⊢ A-adjacent-compatible(X;Kan-type(A);I;alpha;map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx))
BY
{ (RepeatFor 2 (ParallelOp -8)
   THEN (RWO "length-map" 0 THENA Auto)
   THEN ParallelOp -8
   THEN ParallelLast
   THEN (RWO "select-map" 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm  ⌜bx[j]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Thin (-1)
   THEN (GenConclTerm  ⌜bx[i1]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Thin (-1)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN ∀h:hyp. (D h THEN D h+1 THEN (RWO "cubical-sigma-at" (h+2) THENA Auto) THEN D (h+2)) 
   THEN Reduce 0
   THEN ParallelLast
   THEN All Reduce
   THEN ParallelLast) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha) List
10. ∀i:ℕ||bx||. ∀j:ℕi.  A-face-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i])
11. ¬(x ∈ J)
12. l_subset(Cname;J;I)
13. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
14. (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
15. (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
17. (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
18. i1 : ℕ||bx||
19. ∀j:ℕi1. A-face-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i1])
20. j : ℕi1
21. x2 : nameset(I)
22. i3 : ℕ2
23. u1 : Kan-type(A)((x2:=i3)(alpha))
24. v7 : Kan-type(B)(((x2:=i3)(alpha);u1))
25. x1 : nameset(I)
26. i2 : ℕ2
27. u : Kan-type(A)((x1:=i2)(alpha))
28. v4 : Kan-type(B)(((x1:=i2)(alpha);u))
29. ¬(x2 = x1 ∈ Cname)
30. (<u1, v7> (x2:=i3)(alpha) (x1:=i2))
= (<u, v4> (x1:=i2)(alpha) (x2:=i3))
∈ Σ Kan-type(A) Kan-type(B)(((x1:=i2) o (x2:=i3))(alpha))
⊢ (u1 (x2:=i3)(alpha) (x1:=i2)) = (u (x1:=i2)(alpha) (x2:=i3)) ∈ Kan-type(A)(((x1:=i2) o (x2:=i3))(alpha))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
3.  B  :  \{X.Kan-type(A)  \mvdash{}  \_(Kan)\}
4.  I  :  Cname  List
5.  alpha  :  X(I)
6.  J  :  nameset(I)  List
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  bx  :  A-face(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha)  List
10.  A-adjacent-compatible(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha;bx)
11.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
12.  l\_subset(Cname;J;I)
13.  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <y,  c>)
14.  (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <x,  i>)
15.  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(A-face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
16.  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
17.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(A-face-name(f1)  =  A-face-name(f2)))
\mvdash{}  A-adjacent-compatible(X;Kan-type(A);I;alpha;map(\mlambda{}fc.<fst(fc),  fst(snd(fc)),  fst(snd(snd(fc)))>
                                                                                                    bx))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (ParallelOp  -8)
  THEN  (RWO  "length-map"  0  THENA  Auto)
  THEN  ParallelOp  -8
  THEN  ParallelLast
  THEN  (RWO  "select-map"  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm    \mkleeneopen{}bx[j]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  (GenConclTerm    \mkleeneopen{}bx[i1]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  \mforall{}h:hyp.  (D  h  THEN  D  h+1  THEN  (RWO  "cubical-sigma-at"  (h+2)  THENA  Auto)  THEN  D  (h+2)) 
  THEN  Reduce  0
  THEN  ParallelLast
  THEN  All  Reduce
  THEN  ParallelLast)

---

Home Index