---

Step * 1 1 of Lemma context-subset-ap-iota


1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma(I) ⟶ Type
3. A2 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
4. let A,F = <A1, A2> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
5. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
⊢ <λI,a. (A1 I a), λI,J,f,a,u. (A2 I J f a u)>
= <A1, A2>
∈ (A:I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi(I) ⟶ Type × (I:fset(ℕ)
                                          ⟶ J:fset(ℕ)
                                          ⟶ f:J ⟶ I
                                          ⟶ a:Gamma, phi(I)
                                          ⟶ (A I a)
                                          ⟶ (A J f(a))))
BY
{ EqCD }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma(I) ⟶ Type
3. A2 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
4. let A,F = <A1, A2> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
5. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
⊢ (λI,a. (A1 I a)) = A1 ∈ (I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi(I) ⟶ Type)

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma(I) ⟶ Type
3. A2 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
4. let A,F = <A1, A2> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
5. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
⊢ (λI,J,f,a,u. (A2 I J f a u))
= A2
∈ (I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi(I) ⟶ ((λI,a. (A1 I a)) I a) ⟶ ((λI,a. (A1 I a)) J f(a)))

3
.....eq aux..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma(I) ⟶ Type
3. A2 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
4. let A,F = <A1, A2> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
5. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
6. A : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi(I) ⟶ Type
⊢ istype(I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  A1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  Gamma(I)  {}\mrightarrow{}  Type
3.  A2  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}  a:Gamma(I)  {}\mrightarrow{}  (A1  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A1  J  f(a))
4.  let  A,F  =  <A1,  A2> 
      in  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:Gamma(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((F  I  I  1  a  u)  =  u))
            \mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:Gamma(I).  \mforall{}u:A  I  a.
                      ((F  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (F  J  K  g  f(a)  (F  I  J  f  a  u))))
5.  phi  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
\mvdash{}  <\mlambda{}I,a.  (A1  I  a),  \mlambda{}I,J,f,a,u.  (A2  I  J  f  a  u)>  =  <A1,  A2>


By

---

Latex:
EqCD

---

Home Index