---

Step * 2 of Lemma context-subset-map

.....set predicate..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. Z : CubicalSet{j}
4. s : A:fset(ℕ) ⟶ ((fst(Z)) A) ⟶ ((fst(Gamma)) A)
5. ∀A,B:fset(ℕ). ∀g:B ⟶ A.
     ((((snd(Gamma)) A B g) o (s A)) = ((s B) o ((snd(Z)) A B g)) ∈ (((fst(Z)) A) ⟶ ((fst(Gamma)) B)))
6. s ∈ Z j⟶ Gamma
7. (phi)s ∈ {Z ⊢ _:𝔽}
⊢ ∀A,B:fset(ℕ). ∀g:B ⟶ A.
    ((λx.g(s A x))
    = (λx.(s B g(x)))
    ∈ ({rho:Z(A)| (phi)s(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))}  ⟶ {rho:Gamma(B)| phi(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(B))} ))
BY
{ (RepUR ``compose`` -3
   THEN All (Fold `cube-set-restriction`)⋅
   THEN All (Fold `functor-ob`)
   THEN All (Fold `I_cube`)
   THEN ParallelOp -3
   THEN RepeatFor 2 (ParallelLast)
   THEN (FunExt ⋅ THENA Auto)
   THEN Reduce 0) }

1
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. Z : CubicalSet{j}
4. s : A:fset(ℕ) ⟶ Z(A) ⟶ Gamma(A)
5. ∀A,B:fset(ℕ). ∀g:B ⟶ A.  ((λx.g(s A x)) = (λx.(s B g(x))) ∈ (Z(A) ⟶ Gamma(B)))
6. s ∈ Z j⟶ Gamma
7. (phi)s ∈ {Z ⊢ _:𝔽}
8. A : fset(ℕ)
9. ∀B:fset(ℕ). ∀g:B ⟶ A.  ((λx.g(s A x)) = (λx.(s B g(x))) ∈ (Z(A) ⟶ Gamma(B)))
10. B : fset(ℕ)
11. ∀g:B ⟶ A. ((λx.g(s A x)) = (λx.(s B g(x))) ∈ (Z(A) ⟶ Gamma(B)))
12. g : B ⟶ A
13. (λx.g(s A x)) = (λx.(s B g(x))) ∈ (Z(A) ⟶ Gamma(B))
14. x : {rho:Z(A)| (phi)s(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))} 
⊢ g(s A x) = (s B g(x)) ∈ {rho:Gamma(B)| phi(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(B))} 

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  phi  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
3.  Z  :  CubicalSet\{j\}
4.  s  :  A:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  ((fst(Z))  A)  {}\mrightarrow{}  ((fst(Gamma))  A)
5.  \mforall{}A,B:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}g:B  {}\mrightarrow{}  A.    ((((snd(Gamma))  A  B  g)  o  (s  A))  =  ((s  B)  o  ((snd(Z))  A  B  g)))
6.  s  \mmember{}  Z  j{}\mrightarrow{}  Gamma
7.  (phi)s  \mmember{}  \{Z  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
\mvdash{}  \mforall{}A,B:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}g:B  {}\mrightarrow{}  A.    ((\mlambda{}x.g(s  A  x))  =  (\mlambda{}x.(s  B  g(x))))


By

---

Latex:
(RepUR  ``compose``  -3
  THEN  All  (Fold  `cube-set-restriction`)\mcdot{}
  THEN  All  (Fold  `functor-ob`)
  THEN  All  (Fold  `I\_cube`)
  THEN  ParallelOp  -3
  THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast)
  THEN  (FunExt  \mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index