---

Step * 1 of Lemma context-subset-subtype


1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi1 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. phi2 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi1(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi1(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
7. ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi2(I) ⊆r Gamma, phi1(I))
⊢ <A, x1> ∈ A:I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi2(I) ⟶ Type × (I:fset(ℕ)
                                                    ⟶ J:fset(ℕ)
                                                    ⟶ f:J ⟶ I
                                                    ⟶ a:Gamma, phi2(I)
                                                    ⟶ (A I a)
                                                    ⟶ (A J f(a)))
BY
{ MemCD }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi1 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. phi2 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi1(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi1(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
7. ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi2(I) ⊆r Gamma, phi1(I))
⊢ A ∈ I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi2(I) ⟶ Type

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi1 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. phi2 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi1(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi1(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
7. ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi2(I) ⊆r Gamma, phi1(I))
⊢ x1 ∈ I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi2(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))

3
.....eq aux..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi1 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. phi2 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi1(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi1(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
7. ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi2(I) ⊆r Gamma, phi1(I))
8. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi2(I) ⟶ Type
⊢ istype(I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi2(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  phi1  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
3.  phi2  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
4.  A  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  Gamma,  phi1(I)  {}\mrightarrow{}  Type
5.  x1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}  a:Gamma,  phi1(I)  {}\mrightarrow{}  (A  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A  J  f(a))
6.  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:Gamma,  phi1(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((x1  I  I  1  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:Gamma,  phi1(I).  \mforall{}u:A  I  a.
          ((x1  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (x1  J  K  g  f(a)  (x1  I  J  f  a  u))))
7.  \mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  (Gamma,  phi2(I)  \msubseteq{}r  Gamma,  phi1(I))
\mvdash{}  <A,  x1>  \mmember{}  A:I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  Gamma,  phi2(I)  {}\mrightarrow{}  Type  \mtimes{}  (I:fset(\mBbbN{})
                                                                                                        {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})
                                                                                                        {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I
                                                                                                        {}\mrightarrow{}  a:Gamma,  phi2(I)
                                                                                                        {}\mrightarrow{}  (A  I  a)
                                                                                                        {}\mrightarrow{}  (A  J  f(a)))


By

---

Latex:
MemCD

---

Home Index