---

Step * of Lemma context-subset-subtype

No Annotations
∀[Gamma:j⊢]. ∀[phi1,phi2:{Gamma ⊢ _:𝔽}].
  {Gamma, phi1 ⊢ _} ⊆r {Gamma, phi2 ⊢ _} 
  supposing ∀I:fset(ℕ). ∀rho:Gamma(I).
              ((phi2(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(I))) ⇒ (phi1(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(I))))
BY
{ (Intros
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (Assert ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi2(I) ⊆r Gamma, phi1(I)) BY
               (RepUR ``context-subset`` 0 THEN ParallelOp -2 THEN Auto))
   THEN Thin (-3)
   THEN RepeatFor 2 (DVar `x')
   THEN All Reduce
   THEN At ⌜𝕌'⌝ MemTypeCD⋅) }

1
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi1 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. phi2 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi1(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi1(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
7. ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi2(I) ⊆r Gamma, phi1(I))
⊢ <A, x1> ∈ A:I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi2(I) ⟶ Type × (I:fset(ℕ)
                                                    ⟶ J:fset(ℕ)
                                                    ⟶ f:J ⟶ I
                                                    ⟶ a:Gamma, phi2(I)
                                                    ⟶ (A I a)
                                                    ⟶ (A J f(a)))

2
.....set predicate..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi1 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. phi2 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi1(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi1(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
7. ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi2(I) ⊆r Gamma, phi1(I))
⊢ let A,F = <A, x1> 
  in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi2(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
     ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi2(I). ∀u:A I a.
          ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))

3
.....wf..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi1 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. phi2 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi1(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi1(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
7. ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi2(I) ⊆r Gamma, phi1(I))
8. AF : A:I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi2(I) ⟶ Type × (I:fset(ℕ)
                                                ⟶ J:fset(ℕ)
                                                ⟶ f:J ⟶ I
                                                ⟶ a:Gamma, phi2(I)
                                                ⟶ (A I a)
                                                ⟶ (A J f(a)))
⊢ istype(let A,F = AF 
         in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi2(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
            ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi2(I). ∀u:A I a.
                 ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a)))))

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}[Gamma:j\mvdash{}].  \mforall{}[phi1,phi2:\{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}].
    \{Gamma,  phi1  \mvdash{}  \_\}  \msubseteq{}r  \{Gamma,  phi2  \mvdash{}  \_\} 
    supposing  \mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}rho:Gamma(I).    ((phi2(rho)  =  1)  {}\mRightarrow{}  (phi1(rho)  =  1))


By

---

Latex:
(Intros
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  (Gamma,  phi2(I)  \msubseteq{}r  Gamma,  phi1(I))  BY
                          (RepUR  ``context-subset``  0  THEN  ParallelOp  -2  THEN  Auto))
  THEN  Thin  (-3)
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `x')
  THEN  All  Reduce
  THEN  At  \mkleeneopen{}\mBbbU{}'\mkleeneclose{}  MemTypeCD\mcdot{})

---

Home Index