---

Step * 3 of Lemma context-subset-subtype

.....wf..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi1 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. phi2 : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi1(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, phi1(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi1(I). ∀u:A I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
7. ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi2(I) ⊆r Gamma, phi1(I))
8. AF : A:I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, phi2(I) ⟶ Type × (I:fset(ℕ)
                                                ⟶ J:fset(ℕ)
                                                ⟶ f:J ⟶ I
                                                ⟶ a:Gamma, phi2(I)
                                                ⟶ (A I a)
                                                ⟶ (A J f(a)))
⊢ istype(let A,F = AF 
         in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, phi2(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
            ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, phi2(I). ∀u:A I a.
                 ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a)))))
BY
{ (D -1 THEN Reduce 0 THEN All Thin THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  phi1  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
3.  phi2  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
4.  A  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  Gamma,  phi1(I)  {}\mrightarrow{}  Type
5.  x1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}  a:Gamma,  phi1(I)  {}\mrightarrow{}  (A  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A  J  f(a))
6.  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:Gamma,  phi1(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((x1  I  I  1  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:Gamma,  phi1(I).  \mforall{}u:A  I  a.
          ((x1  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (x1  J  K  g  f(a)  (x1  I  J  f  a  u))))
7.  \mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  (Gamma,  phi2(I)  \msubseteq{}r  Gamma,  phi1(I))
8.  AF  :  A:I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  Gamma,  phi2(I)  {}\mrightarrow{}  Type  \mtimes{}  (I:fset(\mBbbN{})
                                                                                                {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})
                                                                                                {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I
                                                                                                {}\mrightarrow{}  a:Gamma,  phi2(I)
                                                                                                {}\mrightarrow{}  (A  I  a)
                                                                                                {}\mrightarrow{}  (A  J  f(a)))
\mvdash{}  istype(let  A,F  =  AF 
                  in  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:Gamma,  phi2(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((F  I  I  1  a  u)  =  u))
                        \mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:Gamma,  phi2(I).  \mforall{}u:A  I  a.
                                  ((F  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (F  J  K  g  f(a)  (F  I  J  f  a  u)))))


By

---

Latex:
(D  -1  THEN  Reduce  0  THEN  All  Thin  THEN  Auto)

---

Home Index