---

Step * 2 of Lemma context-subset-type-subtype

.....set predicate..... 
1. G : CubicalSet{j}
2. phi : {G ⊢ _:𝔽}
3. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ G(I) ⟶ 𝕌{j}
4. A2 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:G(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
5. (∀I:fset(ℕ). ∀a:G(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:G(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K f ⋅ g a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K f ⋅ g(a))))
⊢ let A,F = <A1, A2> 
  in (∀I:fset(ℕ). ∀a:G, phi(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
     ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:G, phi(I). ∀u:A I a.
          ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
BY
{ (Reduce 0 THEN RepeatFor 8 (ParallelLast)) }

1
1. G : CubicalSet{j}
2. phi : {G ⊢ _:𝔽}
3. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ G(I) ⟶ 𝕌{j}
4. A2 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:G(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
5. ∀I:fset(ℕ). ∀a:G(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a))
6. ∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:G(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K f ⋅ g a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K f ⋅ g(a)))
7. I : fset(ℕ)
8. ∀J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:G(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K f ⋅ g a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K f ⋅ g(a)))
9. J : fset(ℕ)
10. ∀K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:G(I). ∀u:A1 I a.
      ((A2 I K f ⋅ g a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K f ⋅ g(a)))
11. K : fset(ℕ)
12. ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:G(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I K f ⋅ g a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K f ⋅ g(a)))
13. f : J ⟶ I
14. ∀g:K ⟶ J. ∀a:G(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I K f ⋅ g a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K f ⋅ g(a)))
15. g : K ⟶ J
16. ∀a:G(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I K f ⋅ g a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K f ⋅ g(a)))
17. a : G, phi(I)
18. ∀u:A1 I a. ((A2 I K f ⋅ g a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K f ⋅ g(a)))
19. u : A1 I a
20. (A2 I K f ⋅ g a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K f ⋅ g(a))
⊢ (A2 I K f ⋅ g a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K f ⋅ g(a))

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  G  :  CubicalSet\{j\}
2.  phi  :  \{G  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
3.  A1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  G(I)  {}\mrightarrow{}  \mBbbU{}\{j\}
4.  A2  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}  a:G(I)  {}\mrightarrow{}  (A1  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A1  J  f(a))
5.  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:G(I).  \mforall{}u:A1  I  a.    ((A2  I  I  1  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:G(I).  \mforall{}u:A1  I  a.
          ((A2  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (A2  J  K  g  f(a)  (A2  I  J  f  a  u))))
\mvdash{}  let  A,F  =  <A1,  A2> 
    in  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:G,  phi(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((F  I  I  1  a  u)  =  u))
          \mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:G,  phi(I).  \mforall{}u:A  I  a.
                    ((F  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (F  J  K  g  f(a)  (F  I  J  f  a  u))))


By

---

Latex:
(Reduce  0  THEN  RepeatFor  8  (ParallelLast))

---

Home Index