---

Step * 1 of Lemma csm-cubical-equiv-by-cases


1. G : CubicalSet{j}
2. A : {G ⊢ _}
3. B : {G ⊢ _}
4. f : {G ⊢ _:Equiv(A;B)}
5. H : CubicalSet{j}
6. s : H j⟶ G
7. ∀phi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}. G.𝕀, phi ⊢ (A)p
8. ∀phi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}. G.𝕀, phi ⊢ (B)p
9. ∀phi:{H.𝕀 ⊢ _:𝔽}. H.𝕀, phi ⊢ ((A)s)p
10. ∀phi:{H.𝕀 ⊢ _:𝔽}. H.𝕀, phi ⊢ ((B)s)p
⊢ (((f)p)s+ ∨ (IdEquiv(G.𝕀, (q=1);(B)p))s+)
= (((f)s)p ∨ IdEquiv(H.𝕀, (q=1);((B)s)p))
∈ {H.𝕀, ((q=0) ∨ (q=1)) ⊢ _:Equiv((if (q=0) then ((A)s)p else ((B)s)p);((B)s)p)}
BY
{ (Assert ⌜IdEquiv(H.𝕀, (q=1);((B)s)p)
           = (IdEquiv(G.𝕀, (q=1);(B)p))s+
           ∈ {H.𝕀, (q=1) ⊢ _:Equiv((if (q=0) then ((A)s)p else ((B)s)p);((B)s)p)}⌝⋅
   THENM Assert ⌜((f)s)p
                 = ((f)p)s+
                 ∈ {H.𝕀, (q=0) ⊢ _:Equiv((if (q=0) then ((A)s)p else ((B)s)p);((B)s)p)[(q=1) 
                                   |⟶ IdEquiv(H.𝕀, (q=1);((B)s)p)]}⌝⋅
   THENM (Symmetry THEN EqCD THEN Try (Fold `member` 0) THEN Auto)) }

1
.....assertion..... 
1. G : CubicalSet{j}
2. A : {G ⊢ _}
3. B : {G ⊢ _}
4. f : {G ⊢ _:Equiv(A;B)}
5. H : CubicalSet{j}
6. s : H j⟶ G
7. ∀phi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}. G.𝕀, phi ⊢ (A)p
8. ∀phi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}. G.𝕀, phi ⊢ (B)p
9. ∀phi:{H.𝕀 ⊢ _:𝔽}. H.𝕀, phi ⊢ ((A)s)p
10. ∀phi:{H.𝕀 ⊢ _:𝔽}. H.𝕀, phi ⊢ ((B)s)p
⊢ IdEquiv(H.𝕀, (q=1);((B)s)p)
= (IdEquiv(G.𝕀, (q=1);(B)p))s+
∈ {H.𝕀, (q=1) ⊢ _:Equiv((if (q=0) then ((A)s)p else ((B)s)p);((B)s)p)}

2
.....assertion..... 
1. G : CubicalSet{j}
2. A : {G ⊢ _}
3. B : {G ⊢ _}
4. f : {G ⊢ _:Equiv(A;B)}
5. H : CubicalSet{j}
6. s : H j⟶ G
7. ∀phi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}. G.𝕀, phi ⊢ (A)p
8. ∀phi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}. G.𝕀, phi ⊢ (B)p
9. ∀phi:{H.𝕀 ⊢ _:𝔽}. H.𝕀, phi ⊢ ((A)s)p
10. ∀phi:{H.𝕀 ⊢ _:𝔽}. H.𝕀, phi ⊢ ((B)s)p
11. IdEquiv(H.𝕀, (q=1);((B)s)p)
= (IdEquiv(G.𝕀, (q=1);(B)p))s+
∈ {H.𝕀, (q=1) ⊢ _:Equiv((if (q=0) then ((A)s)p else ((B)s)p);((B)s)p)}
⊢ ((f)s)p
= ((f)p)s+
∈ {H.𝕀, (q=0) ⊢ _:Equiv((if (q=0) then ((A)s)p else ((B)s)p);((B)s)p)[(q=1) |⟶ IdEquiv(H.𝕀, (q=1);((B)s)p)]}

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  CubicalSet\{j\}
2.  A  :  \{G  \mvdash{}  \_\}
3.  B  :  \{G  \mvdash{}  \_\}
4.  f  :  \{G  \mvdash{}  \_:Equiv(A;B)\}
5.  H  :  CubicalSet\{j\}
6.  s  :  H  j{}\mrightarrow{}  G
7.  \mforall{}phi:\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}.  G.\mBbbI{},  phi  \mvdash{}  (A)p
8.  \mforall{}phi:\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}.  G.\mBbbI{},  phi  \mvdash{}  (B)p
9.  \mforall{}phi:\{H.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}.  H.\mBbbI{},  phi  \mvdash{}  ((A)s)p
10.  \mforall{}phi:\{H.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}.  H.\mBbbI{},  phi  \mvdash{}  ((B)s)p
\mvdash{}  (((f)p)s+  \mvee{}  (IdEquiv(G.\mBbbI{},  (q=1);(B)p))s+)  =  (((f)s)p  \mvee{}  IdEquiv(H.\mBbbI{},  (q=1);((B)s)p))


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}IdEquiv(H.\mBbbI{},  (q=1);((B)s)p)  =  (IdEquiv(G.\mBbbI{},  (q=1);(B)p))s+\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  Assert  \mkleeneopen{}((f)s)p  =  ((f)p)s+\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  (Symmetry  THEN  EqCD  THEN  Try  (Fold  `member`  0)  THEN  Auto))

---

Home Index