---

Step * 1 of Lemma csm-cubical-id-is-equiv


1. G : CubicalSet{j}
2. K : CubicalSet{j}
3. tau : K j⟶ G
4. A : {G ⊢ _}
5. (cubical-id-fun(G))p = cubical-id-fun(G.A) ∈ {G.A ⊢ _:((A)p ⟶ (A)p)}
6. cubical-id-fun(G) ∈ {G ⊢ _:(A ⟶ A)}
7. G.A ⊢ Fiber((cubical-id-fun(G))p;q) = Σ (A)p (Path_((A)p)p (q)p q) ∈ {G.A ⊢ _}
8. (cubical-id-fun(G))p = cubical-id-fun(G.A) ∈ {G.A ⊢ _:((A)p ⟶ (A)p)}
9. ((λcontr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A))))tau
= (λ(contr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A)))tau+)
∈ {K ⊢ _:(ΠA Contractible(Fiber((cubical-id-fun(G))p;q)))tau}
10. (cubical-id-fun(K))p ∈ {K.(A)tau ⊢ _:(((A)tau)p ⟶ ((A)tau)p)}
⊢ (λcontr-witness(K.(A)tau;id-fiber-center(K;(A)tau);id-fiber-contraction(K;(A)tau)))
= ((λcontr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A))))tau
∈ {K ⊢ _:Π(A)tau Contractible(Fiber((cubical-id-fun(K))p;q))}
BY
{ Assert ⌜{K ⊢ _:Π(A)tau Contractible(Fiber((cubical-id-fun(K))p;q))}
          = {K ⊢ _:(ΠA Contractible(Fiber((cubical-id-fun(G))p;q)))tau}
          ∈ 𝕌{[i' | j']}⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. G : CubicalSet{j}
2. K : CubicalSet{j}
3. tau : K j⟶ G
4. A : {G ⊢ _}
5. (cubical-id-fun(G))p = cubical-id-fun(G.A) ∈ {G.A ⊢ _:((A)p ⟶ (A)p)}
6. cubical-id-fun(G) ∈ {G ⊢ _:(A ⟶ A)}
7. G.A ⊢ Fiber((cubical-id-fun(G))p;q) = Σ (A)p (Path_((A)p)p (q)p q) ∈ {G.A ⊢ _}
8. (cubical-id-fun(G))p = cubical-id-fun(G.A) ∈ {G.A ⊢ _:((A)p ⟶ (A)p)}
9. ((λcontr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A))))tau
= (λ(contr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A)))tau+)
∈ {K ⊢ _:(ΠA Contractible(Fiber((cubical-id-fun(G))p;q)))tau}
10. (cubical-id-fun(K))p ∈ {K.(A)tau ⊢ _:(((A)tau)p ⟶ ((A)tau)p)}
⊢ {K ⊢ _:Π(A)tau Contractible(Fiber((cubical-id-fun(K))p;q))}
= {K ⊢ _:(ΠA Contractible(Fiber((cubical-id-fun(G))p;q)))tau}
∈ 𝕌{[i' | j']}

2
1. G : CubicalSet{j}
2. K : CubicalSet{j}
3. tau : K j⟶ G
4. A : {G ⊢ _}
5. (cubical-id-fun(G))p = cubical-id-fun(G.A) ∈ {G.A ⊢ _:((A)p ⟶ (A)p)}
6. cubical-id-fun(G) ∈ {G ⊢ _:(A ⟶ A)}
7. G.A ⊢ Fiber((cubical-id-fun(G))p;q) = Σ (A)p (Path_((A)p)p (q)p q) ∈ {G.A ⊢ _}
8. (cubical-id-fun(G))p = cubical-id-fun(G.A) ∈ {G.A ⊢ _:((A)p ⟶ (A)p)}
9. ((λcontr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A))))tau
= (λ(contr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A)))tau+)
∈ {K ⊢ _:(ΠA Contractible(Fiber((cubical-id-fun(G))p;q)))tau}
10. (cubical-id-fun(K))p ∈ {K.(A)tau ⊢ _:(((A)tau)p ⟶ ((A)tau)p)}
11. {K ⊢ _:Π(A)tau Contractible(Fiber((cubical-id-fun(K))p;q))}
= {K ⊢ _:(ΠA Contractible(Fiber((cubical-id-fun(G))p;q)))tau}
∈ 𝕌{[i' | j']}
⊢ (λcontr-witness(K.(A)tau;id-fiber-center(K;(A)tau);id-fiber-contraction(K;(A)tau)))
= ((λcontr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A))))tau
∈ {K ⊢ _:Π(A)tau Contractible(Fiber((cubical-id-fun(K))p;q))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  CubicalSet\{j\}
2.  K  :  CubicalSet\{j\}
3.  tau  :  K  j{}\mrightarrow{}  G
4.  A  :  \{G  \mvdash{}  \_\}
5.  (cubical-id-fun(G))p  =  cubical-id-fun(G.A)
6.  cubical-id-fun(G)  \mmember{}  \{G  \mvdash{}  \_:(A  {}\mrightarrow{}  A)\}
7.  G.A  \mvdash{}  Fiber((cubical-id-fun(G))p;q)  =  \mSigma{}  (A)p  (Path\_((A)p)p  (q)p  q)
8.  (cubical-id-fun(G))p  =  cubical-id-fun(G.A)
9.  ((\mlambda{}contr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A))))tau
=  (\mlambda{}(contr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A)))tau+)
10.  (cubical-id-fun(K))p  \mmember{}  \{K.(A)tau  \mvdash{}  \_:(((A)tau)p  {}\mrightarrow{}  ((A)tau)p)\}
\mvdash{}  (\mlambda{}contr-witness(K.(A)tau;id-fiber-center(K;(A)tau);id-fiber-contraction(K;(A)tau)))
=  ((\mlambda{}contr-witness(G.A;id-fiber-center(G;A);id-fiber-contraction(G;A))))tau


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\{K  \mvdash{}  \_:\mPi{}(A)tau  Contractible(Fiber((cubical-id-fun(K))p;q))\}
                =  \{K  \mvdash{}  \_:(\mPi{}A  Contractible(Fiber((cubical-id-fun(G))p;q)))tau\}\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index