---

Step * 1 of Lemma csm-equiv-path1


1. G : CubicalSet{j}
2. A : {G ⊢ _}
3. B : {G ⊢ _}
4. f : {G ⊢ _:Equiv(A;B)}
5. H : CubicalSet{j}
6. s : H j⟶ G
7. ∀phi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}. G.𝕀, phi ⊢ (A)p
8. ∀phi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}. G.𝕀, phi ⊢ (B)p
9. ∀phi:{H.𝕀 ⊢ _:𝔽}. H.𝕀, phi ⊢ ((A)s)p
10. ∀phi:{H.𝕀 ⊢ _:𝔽}. H.𝕀, phi ⊢ ((B)s)p
11. (Glue [((q=0) ∨ (q=1)) ⊢→ ((if (q=0) then (A)p else (B)p);equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))] (B)p)s+
= H.𝕀 ⊢ Glue [(((q=0) ∨ (q=1)))s+ ⊢→ (((if (q=0) then (A)p else (B)p))
                                       s+;(equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))s+)] ((B)p)s+
∈ {H.𝕀 ⊢ _}
⊢ (Glue [((q=0) ∨ (q=1)) ⊢→ ((if (q=0) then (A)p else (B)p);equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))] (B)p)s+
= H.𝕀 ⊢ Glue [((q=0) ∨ (q=1)) ⊢→ ((if (q=0) then ((A)s)p else ((B)s)
                                                               p);equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(H;(B)s;(f)s)))] ((B)
                                                                                                                     s)p
∈ {H.𝕀 ⊢ _}
BY
{ (Assert
   ⌜H.𝕀 ⊢ Glue [(((q=0) ∨ (q=1)))s+ ⊢→ (((if (q=0) then (A)p else (B)p))
                                         s+;(equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))s+)] ((B)p)s+
    = H.𝕀 ⊢ Glue [((q=0) ∨ (q=1)) ⊢→ ((if (q=0) then ((A)s)
                                                      p else ((B)s)
                                                              p);equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(H;(B)s;(f)s)))] ((B)s)
                                                                                                                   p
    ∈ {H.𝕀 ⊢ _}⌝⋅
THENM Eq
) }

1
.....assertion..... 
1. G : CubicalSet{j}
2. A : {G ⊢ _}
3. B : {G ⊢ _}
4. f : {G ⊢ _:Equiv(A;B)}
5. H : CubicalSet{j}
6. s : H j⟶ G
7. ∀phi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}. G.𝕀, phi ⊢ (A)p
8. ∀phi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}. G.𝕀, phi ⊢ (B)p
9. ∀phi:{H.𝕀 ⊢ _:𝔽}. H.𝕀, phi ⊢ ((A)s)p
10. ∀phi:{H.𝕀 ⊢ _:𝔽}. H.𝕀, phi ⊢ ((B)s)p
11. (Glue [((q=0) ∨ (q=1)) ⊢→ ((if (q=0) then (A)p else (B)p);equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))] (B)p)s+
= H.𝕀 ⊢ Glue [(((q=0) ∨ (q=1)))s+ ⊢→ (((if (q=0) then (A)p else (B)p))
                                       s+;(equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))s+)] ((B)p)s+
∈ {H.𝕀 ⊢ _}
⊢ H.𝕀 ⊢ Glue [(((q=0) ∨ (q=1)))s+ ⊢→ (((if (q=0) then (A)p else (B)p))
                                       s+;(equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))s+)] ((B)p)s+
= H.𝕀 ⊢ Glue [((q=0) ∨ (q=1)) ⊢→ ((if (q=0) then ((A)s)p else ((B)s)
                                                               p);equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(H;(B)s;(f)s)))] ((B)
                                                                                                                     s)p
∈ {H.𝕀 ⊢ _}

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  CubicalSet\{j\}
2.  A  :  \{G  \mvdash{}  \_\}
3.  B  :  \{G  \mvdash{}  \_\}
4.  f  :  \{G  \mvdash{}  \_:Equiv(A;B)\}
5.  H  :  CubicalSet\{j\}
6.  s  :  H  j{}\mrightarrow{}  G
7.  \mforall{}phi:\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}.  G.\mBbbI{},  phi  \mvdash{}  (A)p
8.  \mforall{}phi:\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}.  G.\mBbbI{},  phi  \mvdash{}  (B)p
9.  \mforall{}phi:\{H.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}.  H.\mBbbI{},  phi  \mvdash{}  ((A)s)p
10.  \mforall{}phi:\{H.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}.  H.\mBbbI{},  phi  \mvdash{}  ((B)s)p
11.  (Glue  [((q=0)  \mvee{}  (q=1))  \mvdash{}\mrightarrow{}  ((if  (q=0)  then  (A)p  else  (B)p);
                                                              equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))]  (B)p)s+
=  H.\mBbbI{}  \mvdash{}  Glue  [(((q=0)  \mvee{}  (q=1)))s+  \mvdash{}\mrightarrow{}  (((if  (q=0)  then  (A)p  else  (B)p))
                                                                              s+;(equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))s+)]  ((B)p)s+
\mvdash{}  (Glue  [((q=0)  \mvee{}  (q=1))  \mvdash{}\mrightarrow{}  ((if  (q=0)  then  (A)p  else  (B)p);
                                                          equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))]  (B)p)s+
=  H.\mBbbI{}  \mvdash{}  Glue  [((q=0)  \mvee{}  (q=1))  \mvdash{}\mrightarrow{}  ((if  (q=0)  then  ((A)s)
                                                                                                    p  else  ((B)s)
                                                                                                                    p);equiv-fun(...))]  ((B)s)p


By

---

Latex:
(Assert
  \mkleeneopen{}H.\mBbbI{}  \mvdash{}  Glue  [(((q=0)  \mvee{}  (q=1)))s+  \mvdash{}\mrightarrow{}  (((if  (q=0)  then  (A)p  else  (B)p))
                                                                              s+;(equiv-fun(cubical-equiv-by-cases(G;B;f)))s+)]  ((B)p)s+
    =  H.\mBbbI{}  \mvdash{}  Glue  [((q=0)  \mvee{}  (q=1))  \mvdash{}\mrightarrow{}  ((if  (q=0)  then  ((A)s)
                                                                                                        p  else  ((B)s)
                                                                                                                        p);equiv-fun(...))]  ((B)s)p\mkleeneclose{}\mcdot{}
THENM  Eq
)

---

Home Index