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Step * 2 1 1 2 2 4 2 of Lemma csm-id-fiber-contraction


1. G : CubicalSet{j}
2. K : CubicalSet{j}
3. tau : K j⟶ G
4. A : {G ⊢ _}
5. (id-fiber-contraction(G;A))tau++ ∈ {K.(A)tau.Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q) ⊢ _
                                       :Path((Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q))p)}
6. path-eta(id-fiber-contraction(K;(A)tau)) ∈ {K.(A)tau.Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q).𝕀 ⊢ _
                                               :((Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q))p)p}
7. ((Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q))p)p
= Σ ((((A)tau)p)p)p ((Path_(((A)tau)p)p (q)p q))(p o p o p;q)
∈ {K.(A)tau.Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q).𝕀 ⊢ _}
8. path-eta(id-fiber-contraction(K;(A)tau)) ∈ {K.(A)tau.Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q).𝕀 ⊢ _
                                               :Σ ((((A)tau)p)p)p ((Path_(((A)tau)p)p (q)p q))(p o p o p;q)}
9. path-eta(id-fiber-contraction(K;(A)tau)).1
= path-eta((id-fiber-contraction(G;A))tau++).1
∈ {K.(A)tau.Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q).𝕀 ⊢ _:((((A)tau)p)p)p}
10. path-eta(id-fiber-contraction(K;(A)tau)).2
= path-eta((id-fiber-contraction(G;A))tau++).2
∈ {K.(A)tau.Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q).𝕀 ⊢ _
   :(((Path_(((A)tau)p)p (q)p q))(p o p o p;q))[path-eta(id-fiber-contraction(K;(A)tau)).1]}
11. {K.(A)tau.Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q).𝕀 ⊢ _:((Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q))p)p}
= {K.(A)tau.Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q).𝕀 ⊢ _:Σ ((((A)tau)p)p)p ((Path_(((A)tau)p)p (q)p q))(p o p o p;q)}
∈ 𝕌{[i' | j']}
⊢ path-eta((id-fiber-contraction(G;A))tau++) ∈ {K.(A)tau.Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q).𝕀 ⊢ _
                                                :((Σ ((A)tau)p (Path_(((A)tau)p)p (q)p q))p)p}
BY
{ Auto }

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Latex:

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Latex:

1.  G  :  CubicalSet\{j\}
2.  K  :  CubicalSet\{j\}
3.  tau  :  K  j{}\mrightarrow{}  G
4.  A  :  \{G  \mvdash{}  \_\}
5.  (id-fiber-contraction(G;A))tau++  \mmember{}  \{K.(A)tau.\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q)  \mvdash{}  \_
                                                                              :Path((\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q))p)\}
6.  path-eta(id-fiber-contraction(K;(A)tau))  \mmember{}  \{K.(A)tau.\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_
                                                                                              :((\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q))p)p\}
7.  ((\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q))p)p
=  \mSigma{}  ((((A)tau)p)p)p  ((Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q))(p  o  p  o  p;q)
8.  path-eta(id-fiber-contraction(K;(A)tau))  \mmember{}  \{K.(A)tau.\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_
                                                                                              :\mSigma{}  ((((A)tau)p)p)p  ((Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q))
                                                                                                                                      (p  o  p  o  p;q)\}
9.  path-eta(id-fiber-contraction(K;(A)tau)).1  =  path-eta((id-fiber-contraction(G;A))tau++).1
10.  path-eta(id-fiber-contraction(K;(A)tau)).2  =  path-eta((id-fiber-contraction(G;A))tau++).2
11.  \{K.(A)tau.\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_
          :((\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q))p)p\}
=  \{K.(A)tau.\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_
      :\mSigma{}  ((((A)tau)p)p)p  ((Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q))(p  o  p  o  p;q)\}
\mvdash{}  path-eta((id-fiber-contraction(G;A))tau++)
    \mmember{}  \{K.(A)tau.\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_
          :((\mSigma{}  ((A)tau)p  (Path\_(((A)tau)p)p  (q)p  q))p)p\}


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