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Step * of Lemma csm-transprt-fun

No Annotations
∀[Gamma:j⊢]. ∀[A:{Gamma.𝕀 ⊢ _}]. ∀[cA:Gamma.𝕀 +⊢ Compositon(A)]. ∀[H:j⊢]. ∀[s:H j⟶ Gamma].
  ((transprt-fun(Gamma;A;cA))s = transprt-fun(H;(A)s+;(cA)s+) ∈ {H ⊢ _:(((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)])})
BY
{ (Intros
   THEN (InstLemma `csm+_wf` [⌜Gamma⌝;⌜H⌝;⌜𝕀⌝;⌜s⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "csm-interval-type" (-1) THENA Auto)
   THEN (Assert {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} = {H ⊢ _:(((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)])} ∈ 𝕌{[i' | j']} BY
               (EqCDA THEN (RWO "csm-cubical-fun" 0 THENA Auto) THEN EqCDA THEN CsmTypeSq THEN Auto))
   THEN (Assert ⌜(transprt-fun(Gamma;A;cA))s = transprt-fun(H;(A)s+;(cA)s+) ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}⌝⋅
   THENM (InferEqualType THEN Auto)
   )
   THEN (Assert (transprt-fun(Gamma;A;cA))s ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} BY
               Auto)
   THEN (Assert transprt-fun(H;(A)s+;(cA)s+) ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} BY
               (InferEqualType THEN Auto))
   THEN All (Unfold `transprt-fun`)
   THEN (InstLemma `cubical-fun-as-cubical-pi` [⌜H⌝;⌜((A)s+)[0(𝕀)]⌝;⌜((A)s+)[1(𝕀)]⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (InstLemma `cubical-fun-as-cubical-pi` [⌜Gamma⌝;⌜(A)[0(𝕀)]⌝;⌜(A)[1(𝕀)]⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (InstLemma `csm-cubical-lambda` [⌜Gamma⌝;⌜(A)[0(𝕀)]⌝;⌜((A)[1(𝕀)])p⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN InstHyp [⌜transprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)⌝;⌜H⌝;⌜s⌝] (-1)⋅
   THEN Try (Trivial)) }

1
.....wf..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma.𝕀 ⊢ _}
3. cA : Gamma.𝕀 +⊢ Compositon(A)
4. H : CubicalSet{j}
5. s : H j⟶ Gamma
6. s+ ∈ H.𝕀 ij⟶ Gamma.𝕀
7. {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} = {H ⊢ _:(((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)])} ∈ 𝕌{[i' | j']}
8. ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
9. (λtransprt(H.((A)s+)[0(𝕀)];((cA)s+)p+;q)) ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
10. (H ⊢ ((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)]) = H ⊢ Π((A)s+)[0(𝕀)] (((A)s+)[1(𝕀)])p ∈ {H ⊢ _}
11. (Gamma ⊢ (A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]) = Gamma ⊢ Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p ∈ {Gamma ⊢ _}
12. ∀[b:{Gamma.(A)[0(𝕀)] ⊢ _:((A)[1(𝕀)])p}]. ∀[H:j⊢]. ∀[s:H j⟶ Gamma].
      (((λb))s = (λ(b)s+) ∈ {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s})
⊢ transprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q) ∈ {Gamma.(A)[0(𝕀)] ⊢ _:((A)[1(𝕀)])p}

2
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma.𝕀 ⊢ _}
3. cA : Gamma.𝕀 +⊢ Compositon(A)
4. H : CubicalSet{j}
5. s : H j⟶ Gamma
6. s+ ∈ H.𝕀 ij⟶ Gamma.𝕀
7. {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} = {H ⊢ _:(((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)])} ∈ 𝕌{[i' | j']}
8. ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
9. (λtransprt(H.((A)s+)[0(𝕀)];((cA)s+)p+;q)) ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
10. (H ⊢ ((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)]) = H ⊢ Π((A)s+)[0(𝕀)] (((A)s+)[1(𝕀)])p ∈ {H ⊢ _}
11. (Gamma ⊢ (A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]) = Gamma ⊢ Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p ∈ {Gamma ⊢ _}
12. ∀[b:{Gamma.(A)[0(𝕀)] ⊢ _:((A)[1(𝕀)])p}]. ∀[H:j⊢]. ∀[s:H j⟶ Gamma].
      (((λb))s = (λ(b)s+) ∈ {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s})
13. ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s
= (λ(transprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q))s+)
∈ {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s}
⊢ ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s
= (λtransprt(H.((A)s+)[0(𝕀)];((cA)s+)p+;q))
∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}

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Latex:

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Latex:
No  Annotations
\mforall{}[Gamma:j\mvdash{}].  \mforall{}[A:\{Gamma.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_\}].  \mforall{}[cA:Gamma.\mBbbI{}  +\mvdash{}  Compositon(A)].  \mforall{}[H:j\mvdash{}].  \mforall{}[s:H  j{}\mrightarrow{}  Gamma].
    ((transprt-fun(Gamma;A;cA))s  =  transprt-fun(H;(A)s+;(cA)s+))


By

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Latex:
(Intros
  THEN  (InstLemma  `csm+\_wf`  [\mkleeneopen{}Gamma\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}H\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mBbbI{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "csm-interval-type"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \{H  \mvdash{}  \_:(((A)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  (A)[1(\mBbbI{})]))s\}  =  \{H  \mvdash{}  \_:(((A)s+)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  ((A)s+)[1(\mBbbI{})])\}  BY
                          (EqCDA  THEN  (RWO  "csm-cubical-fun"  0  THENA  Auto)  THEN  EqCDA  THEN  CsmTypeSq  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}(transprt-fun(Gamma;A;cA))s  =  transprt-fun(H;(A)s+;(cA)s+)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  (InferEqualType  THEN  Auto)
  )
  THEN  (Assert  (transprt-fun(Gamma;A;cA))s  \mmember{}  \{H  \mvdash{}  \_:(((A)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  (A)[1(\mBbbI{})]))s\}  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  transprt-fun(H;(A)s+;(cA)s+)  \mmember{}  \{H  \mvdash{}  \_:(((A)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  (A)[1(\mBbbI{})]))s\}  BY
                          (InferEqualType  THEN  Auto))
  THEN  All  (Unfold  `transprt-fun`)
  THEN  (InstLemma  `cubical-fun-as-cubical-pi`  [\mkleeneopen{}H\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}((A)s+)[0(\mBbbI{})]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}((A)s+)[1(\mBbbI{})]\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `cubical-fun-as-cubical-pi`  [\mkleeneopen{}Gamma\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(A)[0(\mBbbI{})]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(A)[1(\mBbbI{})]\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `csm-cubical-lambda`  [\mkleeneopen{}Gamma\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(A)[0(\mBbbI{})]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}((A)[1(\mBbbI{})])p\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}transprt(Gamma.(A)[0(\mBbbI{})];(cA)p+;q)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}H\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
  THEN  Try  (Trivial))

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