---

Step * 2 of Lemma csm-transprt-fun


1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma.𝕀 ⊢ _}
3. cA : Gamma.𝕀 +⊢ Compositon(A)
4. H : CubicalSet{j}
5. s : H j⟶ Gamma
6. s+ ∈ H.𝕀 ij⟶ Gamma.𝕀
7. {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} = {H ⊢ _:(((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)])} ∈ 𝕌{[i' | j']}
8. ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
9. (λtransprt(H.((A)s+)[0(𝕀)];((cA)s+)p+;q)) ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
10. (H ⊢ ((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)]) = H ⊢ Π((A)s+)[0(𝕀)] (((A)s+)[1(𝕀)])p ∈ {H ⊢ _}
11. (Gamma ⊢ (A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]) = Gamma ⊢ Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p ∈ {Gamma ⊢ _}
12. ∀[b:{Gamma.(A)[0(𝕀)] ⊢ _:((A)[1(𝕀)])p}]. ∀[H:j⊢]. ∀[s:H j⟶ Gamma].
      (((λb))s = (λ(b)s+) ∈ {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s})
13. ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s
= (λ(transprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q))s+)
∈ {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s}
⊢ ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s
= (λtransprt(H.((A)s+)[0(𝕀)];((cA)s+)p+;q))
∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
BY
{ ((Assert {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} = {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s} ∈ 𝕌{[i' | j']} BY
          (RepeatFor 2 (EqCDA) THEN Auto))
   THEN NthHypEqGen (-2)
   THEN EqCDA
   THEN Try (Trivial)) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma.𝕀 ⊢ _}
3. cA : Gamma.𝕀 +⊢ Compositon(A)
4. H : CubicalSet{j}
5. s : H j⟶ Gamma
6. s+ ∈ H.𝕀 ij⟶ Gamma.𝕀
7. {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} = {H ⊢ _:(((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)])} ∈ 𝕌{[i' | j']}
8. ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
9. (λtransprt(H.((A)s+)[0(𝕀)];((cA)s+)p+;q)) ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
10. (H ⊢ ((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)]) = H ⊢ Π((A)s+)[0(𝕀)] (((A)s+)[1(𝕀)])p ∈ {H ⊢ _}
11. (Gamma ⊢ (A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]) = Gamma ⊢ Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p ∈ {Gamma ⊢ _}
12. ∀[b:{Gamma.(A)[0(𝕀)] ⊢ _:((A)[1(𝕀)])p}]. ∀[H:j⊢]. ∀[s:H j⟶ Gamma].
      (((λb))s = (λ(b)s+) ∈ {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s})
13. ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s
= (λ(transprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q))s+)
∈ {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s}
14. {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} = {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s} ∈ 𝕌{[i' | j']}
⊢ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} = {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s} ∈ 𝕌{[i | j']}

2
.....subterm..... T:t
3:n
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma.𝕀 ⊢ _}
3. cA : Gamma.𝕀 +⊢ Compositon(A)
4. H : CubicalSet{j}
5. s : H j⟶ Gamma
6. s+ ∈ H.𝕀 ij⟶ Gamma.𝕀
7. {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} = {H ⊢ _:(((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)])} ∈ 𝕌{[i' | j']}
8. ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
9. (λtransprt(H.((A)s+)[0(𝕀)];((cA)s+)p+;q)) ∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}
10. (H ⊢ ((A)s+)[0(𝕀)] ⟶ ((A)s+)[1(𝕀)]) = H ⊢ Π((A)s+)[0(𝕀)] (((A)s+)[1(𝕀)])p ∈ {H ⊢ _}
11. (Gamma ⊢ (A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]) = Gamma ⊢ Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p ∈ {Gamma ⊢ _}
12. ∀[b:{Gamma.(A)[0(𝕀)] ⊢ _:((A)[1(𝕀)])p}]. ∀[H:j⊢]. ∀[s:H j⟶ Gamma].
      (((λb))s = (λ(b)s+) ∈ {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s})
13. ((λtransprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q)))s
= (λ(transprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q))s+)
∈ {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s}
14. {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s} = {H ⊢ _:(Π(A)[0(𝕀)] ((A)[1(𝕀)])p)s} ∈ 𝕌{[i' | j']}
⊢ (λtransprt(H.((A)s+)[0(𝕀)];((cA)s+)p+;q))
= (λ(transprt(Gamma.(A)[0(𝕀)];(cA)p+;q))s+)
∈ {H ⊢ _:(((A)[0(𝕀)] ⟶ (A)[1(𝕀)]))s}

---

Latex:

---

Latex:

1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  A  :  \{Gamma.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_\}
3.  cA  :  Gamma.\mBbbI{}  +\mvdash{}  Compositon(A)
4.  H  :  CubicalSet\{j\}
5.  s  :  H  j{}\mrightarrow{}  Gamma
6.  s+  \mmember{}  H.\mBbbI{}  ij{}\mrightarrow{}  Gamma.\mBbbI{}
7.  \{H  \mvdash{}  \_:(((A)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  (A)[1(\mBbbI{})]))s\}  =  \{H  \mvdash{}  \_:(((A)s+)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  ((A)s+)[1(\mBbbI{})])\}
8.  ((\mlambda{}transprt(Gamma.(A)[0(\mBbbI{})];(cA)p+;q)))s  \mmember{}  \{H  \mvdash{}  \_:(((A)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  (A)[1(\mBbbI{})]))s\}
9.  (\mlambda{}transprt(H.((A)s+)[0(\mBbbI{})];((cA)s+)p+;q))  \mmember{}  \{H  \mvdash{}  \_:(((A)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  (A)[1(\mBbbI{})]))s\}
10.  (H  \mvdash{}  ((A)s+)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  ((A)s+)[1(\mBbbI{})])  =  H  \mvdash{}  \mPi{}((A)s+)[0(\mBbbI{})]  (((A)s+)[1(\mBbbI{})])p
11.  (Gamma  \mvdash{}  (A)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  (A)[1(\mBbbI{})])  =  Gamma  \mvdash{}  \mPi{}(A)[0(\mBbbI{})]  ((A)[1(\mBbbI{})])p
12.  \mforall{}[b:\{Gamma.(A)[0(\mBbbI{})]  \mvdash{}  \_:((A)[1(\mBbbI{})])p\}].  \mforall{}[H:j\mvdash{}].  \mforall{}[s:H  j{}\mrightarrow{}  Gamma].    (((\mlambda{}b))s  =  (\mlambda{}(b)s+))
13.  ((\mlambda{}transprt(Gamma.(A)[0(\mBbbI{})];(cA)p+;q)))s  =  (\mlambda{}(transprt(Gamma.(A)[0(\mBbbI{})];(cA)p+;q))s+)
\mvdash{}  ((\mlambda{}transprt(Gamma.(A)[0(\mBbbI{})];(cA)p+;q)))s  =  (\mlambda{}transprt(H.((A)s+)[0(\mBbbI{})];((cA)s+)p+;q))


By

---

Latex:
((Assert  \{H  \mvdash{}  \_:(((A)[0(\mBbbI{})]  {}\mrightarrow{}  (A)[1(\mBbbI{})]))s\}  =  \{H  \mvdash{}  \_:(\mPi{}(A)[0(\mBbbI{})]  ((A)[1(\mBbbI{})])p)s\}  BY
                (RepeatFor  2  (EqCDA)  THEN  Auto))
  THEN  NthHypEqGen  (-2)
  THEN  EqCDA
  THEN  Try  (Trivial))

---

Home Index