---

Step * 2 1 of Lemma discrete-sigma-equiv


1. A : Type
2. B : A ⟶ Type
3. X : CubicalSet{j}
4. discrete-pair(q) ∈ {X.Σ discr(A) discrete-family(A;a.B[a]) ⊢ _:(discr(a:A × B[a]))p}
5. discrete-pair-inv(X.discr(a:A × B[a]);q) ∈ {X.discr(a:A × B[a]) ⊢ _:(Σ discr(A) discrete-family(A;a.B[a]))p}
⊢ {X ⊢ _:Equiv(Σ discr(A) discrete-family(A;a.B[a]);discr(a:A × B[a]))}
BY
{ Assert refl(q) ∈ {X.discr(a:A × B[a]) ⊢ _:(Path_(discr(a:A × B[a]))p q app((cubical-lam(X;discrete-pair(q)))p;
                                                                             discrete-pair-inv(X.discr(a:A × B[a]);q)))}
⋅ }

1
.....assertion..... 
1. A : Type
2. B : A ⟶ Type
3. X : CubicalSet{j}
4. discrete-pair(q) ∈ {X.Σ discr(A) discrete-family(A;a.B[a]) ⊢ _:(discr(a:A × B[a]))p}
5. discrete-pair-inv(X.discr(a:A × B[a]);q) ∈ {X.discr(a:A × B[a]) ⊢ _:(Σ discr(A) discrete-family(A;a.B[a]))p}
⊢ refl(q) ∈ {X.discr(a:A × B[a]) ⊢ _:(Path_(discr(a:A × B[a]))p q app((cubical-lam(X;discrete-pair(q)))p;
                                                                      discrete-pair-inv(X.discr(a:A × B[a]);q)))}

2
1. A : Type
2. B : A ⟶ Type
3. X : CubicalSet{j}
4. discrete-pair(q) ∈ {X.Σ discr(A) discrete-family(A;a.B[a]) ⊢ _:(discr(a:A × B[a]))p}
5. discrete-pair-inv(X.discr(a:A × B[a]);q) ∈ {X.discr(a:A × B[a]) ⊢ _:(Σ discr(A) discrete-family(A;a.B[a]))p}
6. refl(q) ∈ {X.discr(a:A × B[a]) ⊢ _:(Path_(discr(a:A × B[a]))p q app((cubical-lam(X;discrete-pair(q)))p;
                                                                       discrete-pair-inv(X.discr(a:A × B[a]);q)))}
⊢ {X ⊢ _:Equiv(Σ discr(A) discrete-family(A;a.B[a]);discr(a:A × B[a]))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  X  :  CubicalSet\{j\}
4.  discrete-pair(q)  \mmember{}  \{X.\mSigma{}  discr(A)  discrete-family(A;a.B[a])  \mvdash{}  \_:(discr(a:A  \mtimes{}  B[a]))p\}
5.  discrete-pair-inv(X.discr(a:A  \mtimes{}  B[a]);q)
      \mmember{}  \{X.discr(a:A  \mtimes{}  B[a])  \mvdash{}  \_:(\mSigma{}  discr(A)  discrete-family(A;a.B[a]))p\}
\mvdash{}  \{X  \mvdash{}  \_:Equiv(\mSigma{}  discr(A)  discrete-family(A;a.B[a]);discr(a:A  \mtimes{}  B[a]))\}


By

---

Latex:
Assert  refl(q)  \mmember{}  \{X.discr(a:A  \mtimes{}  B[a])  \mvdash{}  \_
                                    :(Path\_(discr(a:A  \mtimes{}  B[a]))p  q  app((cubical-lam(X;discrete-pair(q)))p;
                                                                                                        discrete-pair-inv(X.discr(a:A  \mtimes{}  B[a]);q)))\}\mcdot{}

---

Home Index