---

Step * 2 of Lemma fillterm_wf


1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma ⊢ _}
3. I : fset(ℕ)
4. i : {i:ℕ| ¬i ∈ I} 
5. j : {j:ℕ| ¬j ∈ I+i} 
6. rho : Gamma(I+i)
7. phi : 𝔽(I)
8. u : {I+i,s(phi) ⊢ _:(A)<rho> o iota}
9. a0 : cubical-path-0(Gamma;A;I;i;rho;phi;u)
10. (i=0) ∈ 𝔽(I+i)
11. I ⊆ I+i+j
⊢ ∀I@0,J:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I@0. ∀a:I+i+j,s(fl-join(I+i;s(phi);(i=0)))(I@0).
    ((if isdM0(a i) then (a0 (i0)(rho) s ⋅ a) else u(m(i;j) ⋅ a) fi  a f)
    = if isdM0(f(a) i) then (a0 (i0)(rho) s ⋅ f(a)) else u(m(i;j) ⋅ f(a)) fi 
    ∈ (A)<m(i;j)(rho)> o iota(f(a)))
BY
{ ((UnivCD THENA Auto)
   THEN RenameVar `K' (-4)
   THEN (CubicalSubsetICube (-1) THENA Auto)
   THEN (Subst' f(a) ~ a ⋅ f 0 THENA Auto)
   THEN RepUR ``cube-set-restriction face-presheaf fl-join name-morph-satisfies`` -1
   THEN (RWW  "fl-morph-join face_lattice-1-join-irreducible" (-1) THENA Auto)
   THEN (BoolCase ⌜isdM0(a i)⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma ⊢ _}
3. I : fset(ℕ)
4. i : {i:ℕ| ¬i ∈ I} 
5. j : {j:ℕ| ¬j ∈ I+i} 
6. rho : Gamma(I+i)
7. phi : 𝔽(I)
8. u : {I+i,s(phi) ⊢ _:(A)<rho> o iota}
9. a0 : cubical-path-0(Gamma;A;I;i;rho;phi;u)
10. (i=0) ∈ 𝔽(I+i)
11. I ⊆ I+i+j
12. K : fset(ℕ)
13. J : fset(ℕ)
14. f : J ⟶ K
15. a : I+i+j,s(fl-join(I+i;s(phi);(i=0)))(K)
16. a ∈ K ⟶ I+i+j
17. ((((phi)<s>)<s>)<a> = 1 ∈ Point(face_lattice(K))) ∨ ((((i=0))<s>)<a> = 1 ∈ Point(face_lattice(K)))
18. ↑isdM0(a i)
⊢ ((a0 (i0)(rho) s ⋅ a) a f)
= if isdM0(a ⋅ f i) then (a0 (i0)(rho) s ⋅ a ⋅ f) else u(m(i;j) ⋅ a ⋅ f) fi 
∈ (A)<m(i;j)(rho)> o iota(a ⋅ f)

2
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma ⊢ _}
3. I : fset(ℕ)
4. i : {i:ℕ| ¬i ∈ I} 
5. j : {j:ℕ| ¬j ∈ I+i} 
6. rho : Gamma(I+i)
7. phi : 𝔽(I)
8. u : {I+i,s(phi) ⊢ _:(A)<rho> o iota}
9. a0 : cubical-path-0(Gamma;A;I;i;rho;phi;u)
10. (i=0) ∈ 𝔽(I+i)
11. I ⊆ I+i+j
12. K : fset(ℕ)
13. J : fset(ℕ)
14. f : J ⟶ K
15. a : I+i+j,s(fl-join(I+i;s(phi);(i=0)))(K)
16. ¬↑isdM0(a i)
17. a ∈ K ⟶ I+i+j
18. ((((phi)<s>)<s>)<a> = 1 ∈ Point(face_lattice(K))) ∨ ((((i=0))<s>)<a> = 1 ∈ Point(face_lattice(K)))
⊢ (u(m(i;j) ⋅ a) a f)
= if isdM0(a ⋅ f i) then (a0 (i0)(rho) s ⋅ a ⋅ f) else u(m(i;j) ⋅ a ⋅ f) fi 
∈ (A)<m(i;j)(rho)> o iota(a ⋅ f)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  A  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_\}
3.  I  :  fset(\mBbbN{})
4.  i  :  \{i:\mBbbN{}|  \mneg{}i  \mmember{}  I\} 
5.  j  :  \{j:\mBbbN{}|  \mneg{}j  \mmember{}  I+i\} 
6.  rho  :  Gamma(I+i)
7.  phi  :  \mBbbF{}(I)
8.  u  :  \{I+i,s(phi)  \mvdash{}  \_:(A)<rho>  o  iota\}
9.  a0  :  cubical-path-0(Gamma;A;I;i;rho;phi;u)
10.  (i=0)  \mmember{}  \mBbbF{}(I+i)
11.  I  \msubseteq{}  I+i+j
\mvdash{}  \mforall{}I@0,J:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I@0.  \mforall{}a:I+i+j,s(fl-join(I+i;s(phi);(i=0)))(I@0).
        ((if  isdM0(a  i)  then  (a0  (i0)(rho)  s  \mcdot{}  a)  else  u(m(i;j)  \mcdot{}  a)  fi    a  f)
        =  if  isdM0(f(a)  i)  then  (a0  (i0)(rho)  s  \mcdot{}  f(a))  else  u(m(i;j)  \mcdot{}  f(a))  fi  )


By

---

Latex:
((UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  RenameVar  `K'  (-4)
  THEN  (CubicalSubsetICube  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  f(a)  \msim{}  a  \mcdot{}  f  0  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``cube-set-restriction  face-presheaf  fl-join  name-morph-satisfies``  -1
  THEN  (RWW    "fl-morph-join  face\_lattice-1-join-irreducible"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}isdM0(a  i)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index