---

Step * 2 of Lemma paths-are-refl-iff2


1. X : CubicalSet{j}
2. A : {X ⊢ _}
3. ∀Z:j⊢. ∀s:Z j⟶ X. ∀p:{Z ⊢ _:Path((A)s)}.  ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  (p @ x = p @ y ∈ {Z ⊢ _:(A)s}) 
   supposing ∀Z:j⊢. ∀s:Z j⟶ X. ∀p:{Z ⊢ _:Path((A)s)}.  (p = refl(p @ 0(𝕀)) ∈ {Z ⊢ _:Path((A)s)})
4. ∀Z:j⊢. ∀s:Z j⟶ X. ∀p:{Z.𝕀 ⊢ _:((A)s)p}.  ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  ((p)[x] = (p)[y] ∈ {Z ⊢ _:(A)s})
5. Z : CubicalSet{j}
6. ∀s:Z j⟶ X. ∀p:{Z.𝕀 ⊢ _:((A)s)p}.  ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  ((p)[x] = (p)[y] ∈ {Z ⊢ _:(A)s})
7. s : Z j⟶ X
8. ∀p:{Z.𝕀 ⊢ _:((A)s)p}. ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  ((p)[x] = (p)[y] ∈ {Z ⊢ _:(A)s})
⊢ ∀p:{Z ⊢ _:Path((A)s)}. ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  (p @ x = p @ y ∈ {Z ⊢ _:(A)s})
BY
{ Intros }

1
1. X : CubicalSet{j}
2. A : {X ⊢ _}
3. ∀Z:j⊢. ∀s:Z j⟶ X. ∀p:{Z ⊢ _:Path((A)s)}.  ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  (p @ x = p @ y ∈ {Z ⊢ _:(A)s}) 
   supposing ∀Z:j⊢. ∀s:Z j⟶ X. ∀p:{Z ⊢ _:Path((A)s)}.  (p = refl(p @ 0(𝕀)) ∈ {Z ⊢ _:Path((A)s)})
4. ∀Z:j⊢. ∀s:Z j⟶ X. ∀p:{Z.𝕀 ⊢ _:((A)s)p}.  ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  ((p)[x] = (p)[y] ∈ {Z ⊢ _:(A)s})
5. Z : CubicalSet{j}
6. ∀s:Z j⟶ X. ∀p:{Z.𝕀 ⊢ _:((A)s)p}.  ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  ((p)[x] = (p)[y] ∈ {Z ⊢ _:(A)s})
7. s : Z j⟶ X
8. ∀p:{Z.𝕀 ⊢ _:((A)s)p}. ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  ((p)[x] = (p)[y] ∈ {Z ⊢ _:(A)s})
9. p : {Z ⊢ _:Path((A)s)}
10. x : {Z ⊢ _:𝕀}
11. y : {Z ⊢ _:𝕀}
⊢ p @ x = p @ y ∈ {Z ⊢ _:(A)s}

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet\{j\}
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  \mforall{}Z:j\mvdash{}.  \mforall{}s:Z  j{}\mrightarrow{}  X.  \mforall{}p:\{Z  \mvdash{}  \_:Path((A)s)\}.    \mforall{}[x,y:\{Z  \mvdash{}  \_:\mBbbI{}\}].    (p  @  x  =  p  @  y) 
      supposing  \mforall{}Z:j\mvdash{}.  \mforall{}s:Z  j{}\mrightarrow{}  X.  \mforall{}p:\{Z  \mvdash{}  \_:Path((A)s)\}.    (p  =  refl(p  @  0(\mBbbI{})))
4.  \mforall{}Z:j\mvdash{}.  \mforall{}s:Z  j{}\mrightarrow{}  X.  \mforall{}p:\{Z.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:((A)s)p\}.    \mforall{}[x,y:\{Z  \mvdash{}  \_:\mBbbI{}\}].    ((p)[x]  =  (p)[y])
5.  Z  :  CubicalSet\{j\}
6.  \mforall{}s:Z  j{}\mrightarrow{}  X.  \mforall{}p:\{Z.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:((A)s)p\}.    \mforall{}[x,y:\{Z  \mvdash{}  \_:\mBbbI{}\}].    ((p)[x]  =  (p)[y])
7.  s  :  Z  j{}\mrightarrow{}  X
8.  \mforall{}p:\{Z.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:((A)s)p\}.  \mforall{}[x,y:\{Z  \mvdash{}  \_:\mBbbI{}\}].    ((p)[x]  =  (p)[y])
\mvdash{}  \mforall{}p:\{Z  \mvdash{}  \_:Path((A)s)\}.  \mforall{}[x,y:\{Z  \mvdash{}  \_:\mBbbI{}\}].    (p  @  x  =  p  @  y)


By

---

Latex:
Intros

---

Home Index