---

Step * of Lemma pres-constraint

No Annotations
∀[G:j⊢]. ∀[phi:{G ⊢ _:𝔽}]. ∀[A,T:{G.𝕀 ⊢ _}]. ∀[f:{G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}]. ∀[t:{G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}].
∀[t0:{G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}]. ∀[cT:G.𝕀 +⊢ Compositon(T)]. ∀[cA:G.𝕀 +⊢ Compositon(A)].
  (pres f [phi ⊢→ t] t0
  = G ⊢ <>((app(f; t)[1])p)
  ∈ {G, phi ⊢ _:(Path_(A)[1(𝕀)] pres-c1(G;phi;f;t;t0;cA) pres-c2(G;phi;f;t;t0;cT))})
BY
{ (InstLemma `pres_wf` []
   THEN RepeatFor 9 (ParallelLast')
   THEN (InstLemma `csm+_wf` [⌜G⌝;⌜G.𝕀⌝;⌜𝕀⌝;⌜p⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "csm-interval-type" (-1) THENA Auto)
   THEN (Assert ⌜app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}⌝⋅
         THENA ((Assert ⌜f ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:(T ⟶ A)}⌝⋅ THENA Auto)
                THEN CubicalAppFun⋅
                THEN RWW "cubical-fun-subset" 0
                THEN Auto)
         )
   THEN (Assert {G.𝕀.𝕀 ⊢ _:(A)p+} ⊆r {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+} BY
               (BLemma `subset-cubical-term` THEN EAuto 2))
   THEN (Assert ⌜{G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(𝕀)]]} ∈ 𝕌{[i' | j']}⌝⋅
         THENA ((Enough to prove ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(𝕀)] ∈ {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)) ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)]}
                  Because Auto)
                THEN SubsumeC ⌜{G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)]}⌝⋅
                THEN Auto)
         )
   THEN (Assert (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+ ∈ {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+} BY
               (DoSubsume THEN Auto))
   THEN Assert ⌜(pres-a0(G;f;t0))p ∈ {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[0(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[0(𝕀)]]}⌝
   ⋅) }

1
.....assertion..... 
1. G : CubicalSet{j}
2. phi : {G ⊢ _:𝔽}
3. A : {G.𝕀 ⊢ _}
4. T : {G.𝕀 ⊢ _}
5. f : {G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}
6. t : {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}
7. t0 : {G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}
8. cT : G.𝕀 +⊢ Compositon(T)
9. cA : G.𝕀 +⊢ Compositon(A)
10. pres f [phi ⊢→ t] t0 ∈ {G ⊢ _:(Path_(A)[1(𝕀)] pres-c1(G;phi;f;t;t0;cA) pres-c2(G;phi;f;t;t0;cT))}
11. p+ ∈ G.𝕀.𝕀 ij⟶ G.𝕀
12. app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}
13. {G.𝕀.𝕀 ⊢ _:(A)p+} ⊆r {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+}
14. {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(𝕀)]]} ∈ 𝕌{[i' | j']}
15. (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+ ∈ {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+}
⊢ (pres-a0(G;f;t0))p ∈ {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[0(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[0(𝕀)]]}

2
1. G : CubicalSet{j}
2. phi : {G ⊢ _:𝔽}
3. A : {G.𝕀 ⊢ _}
4. T : {G.𝕀 ⊢ _}
5. f : {G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}
6. t : {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}
7. t0 : {G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}
8. cT : G.𝕀 +⊢ Compositon(T)
9. cA : G.𝕀 +⊢ Compositon(A)
10. pres f [phi ⊢→ t] t0 ∈ {G ⊢ _:(Path_(A)[1(𝕀)] pres-c1(G;phi;f;t;t0;cA) pres-c2(G;phi;f;t;t0;cT))}
11. p+ ∈ G.𝕀.𝕀 ij⟶ G.𝕀
12. app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}
13. {G.𝕀.𝕀 ⊢ _:(A)p+} ⊆r {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+}
14. {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(𝕀)]]} ∈ 𝕌{[i' | j']}
15. (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+ ∈ {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+}
16. (pres-a0(G;f;t0))p ∈ {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[0(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[0(𝕀)]]}
⊢ pres f [phi ⊢→ t] t0
= G ⊢ <>((app(f; t)[1])p)
∈ {G, phi ⊢ _:(Path_(A)[1(𝕀)] pres-c1(G;phi;f;t;t0;cA) pres-c2(G;phi;f;t;t0;cT))}

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}[G:j\mvdash{}].  \mforall{}[phi:\{G  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}].  \mforall{}[A,T:\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_\}].  \mforall{}[f:\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(T  {}\mrightarrow{}  A)\}].  \mforall{}[t:\{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:T\}].
\mforall{}[t0:\{G  \mvdash{}  \_:(T)[0(\mBbbI{})][phi  |{}\mrightarrow{}  t[0]]\}].  \mforall{}[cT:G.\mBbbI{}  +\mvdash{}  Compositon(T)].  \mforall{}[cA:G.\mBbbI{}  +\mvdash{}  Compositon(A)].
    (pres  f  [phi  \mvdash{}\mrightarrow{}  t]  t0  =  G  \mvdash{}  <>((app(f;  t)[1])p))


By

---

Latex:
(InstLemma  `pres\_wf`  []
  THEN  RepeatFor  9  (ParallelLast')
  THEN  (InstLemma  `csm+\_wf`  [\mkleeneopen{}G\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}G.\mBbbI{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mBbbI{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "csm-interval-type"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}app(f;  t)  \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:A\}\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  ((Assert  \mkleeneopen{}f  \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:(T  {}\mrightarrow{}  A)\}\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  CubicalAppFun\mcdot{}
                            THEN  RWW  "cubical-fun-subset"  0
                            THEN  Auto)
              )
  THEN  (Assert  \{G.\mBbbI{}.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(A)p+\}  \msubseteq{}r  \{G.\mBbbI{},  ((phi)p  \mvee{}  (q=1)).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(A)p+\}  BY
                          (BLemma  `subset-cubical-term`  THEN  EAuto  2))
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:((A)p+)[1(\mBbbI{})][((phi)p  \mvee{}  (q=1))  |{}\mrightarrow{}  ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(\mBbbI{})]]\}
                              \mmember{}  \mBbbU{}\{[i'  |  j']\}\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  ((Enough  to  prove  ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(\mBbbI{})]
                                                              \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  ((phi)p  \mvee{}  (q=1))  \mvdash{}  \_:((A)p+)[1(\mBbbI{})]\}
                                Because  Auto)
                            THEN  SubsumeC  \mkleeneopen{}\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:((A)p+)[1(\mBbbI{})]\}\mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THEN  Auto)
              )
  THEN  (Assert  (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+  \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  ((phi)p  \mvee{}  (q=1)).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(A)p+\}  BY
                          (DoSubsume  THEN  Auto))
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}(pres-a0(G;f;t0))p  \mmember{}  \{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:((A)p+)[0(\mBbbI{})][((phi)p  \mvee{}  (q=1)) 
                                                                                        |{}\mrightarrow{}  ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[0(\mBbbI{})]]\}\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index