---

Step * 1 1 of Lemma presw-pres-c1


1. G : CubicalSet{j}
2. phi : {G ⊢ _:𝔽}
3. A : {G.𝕀 ⊢ _}
4. T : {G.𝕀 ⊢ _}
5. f : {G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}
6. t : {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}
7. t0 : {G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}
8. cT : G.𝕀 +⊢ Compositon(T)
9. cA : G.𝕀 ⊢ Compositon(A)
10. p+ ∈ G.𝕀.𝕀 ij⟶ G.𝕀
11. app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}
12. {G.𝕀.𝕀 ⊢ _:(A)p+} ⊆r {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+}
13. {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(𝕀)]]} ∈ 𝕌{[i' | j']}
14. (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+ ∈ {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+}
15. (pres-a0(G;f;t0))p ∈ {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[0(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[0(𝕀)]]}
⊢ (comp (cA)p+ [((phi)p ∨ (q=1)) ⊢→ (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+] (pres-a0(G;f;t0))p)[0(𝕀)]
= pres-c1(G;phi;f;t;t0;cA)
∈ {G ⊢ _:(A)[1(𝕀)]}
BY
{ ((InstLemma `comp_term_wf` [⌜G.𝕀⌝;⌜((phi)p ∨ (q=1))⌝;⌜(A)p+⌝;⌜(cA)p+⌝;⌜(presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+⌝;
    ⌜(pres-a0(G;f;t0))p⌝]⋅
    THENA Auto
    )
   THEN Unfold `pres-c1` 0
   THEN Try (Fold `pres-a0` 0)
   THEN (InstLemma `csm-comp_term` [⌜G.𝕀⌝;⌜((phi)p ∨ (q=1))⌝;⌜(A)p+⌝;⌜(cA)p+⌝;⌜(presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+⌝;
         ⌜(pres-a0(G;f;t0))p⌝;⌜G⌝;⌜[0(𝕀)]⌝]⋅
         THENA Auto
         )
   THEN (Subst' (((A)p+)[0(𝕀)]+)[1(𝕀)] ~ (A)[1(𝕀)] -1 THENA (CsmUnfolding THEN Auto))
   THEN (Subst' (((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[0(𝕀)]+)[1(𝕀)] ~ (presw(G;phi;f;t;t0;cT))[1(𝕀)] -1
         THENA (CsmUnfolding THEN Auto)
         )) }

1
1. G : CubicalSet{j}
2. phi : {G ⊢ _:𝔽}
3. A : {G.𝕀 ⊢ _}
4. T : {G.𝕀 ⊢ _}
5. f : {G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}
6. t : {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}
7. t0 : {G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}
8. cT : G.𝕀 +⊢ Compositon(T)
9. cA : G.𝕀 ⊢ Compositon(A)
10. p+ ∈ G.𝕀.𝕀 ij⟶ G.𝕀
11. app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}
12. {G.𝕀.𝕀 ⊢ _:(A)p+} ⊆r {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+}
13. {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(𝕀)]]} ∈ 𝕌{[i' | j']}
14. (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+ ∈ {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+}
15. (pres-a0(G;f;t0))p ∈ {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[0(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[0(𝕀)]]}
16. comp (cA)p+ [((phi)p ∨ (q=1)) ⊢→ (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+] (pres-a0(G;f;t0))p
    ∈ {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(𝕀)]]}
17. (comp (cA)p+ [((phi)p ∨ (q=1)) ⊢→ (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+] (pres-a0(G;f;t0))p)[0(𝕀)]
= comp ((cA)p+)[0(𝕀)]+ [(((phi)p ∨ (q=1)))[0(𝕀)] ⊢→ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[0(𝕀)]+] ((pres-a0(G;f;t0))p)[0(𝕀)]
∈ {G ⊢ _:(A)[1(𝕀)][(((phi)p ∨ (q=1)))[0(𝕀)] |⟶ (presw(G;phi;f;t;t0;cT))[1(𝕀)]]}
⊢ (comp (cA)p+ [((phi)p ∨ (q=1)) ⊢→ (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+] (pres-a0(G;f;t0))p)[0(𝕀)]
= comp cA [phi ⊢→ app(f; t)] pres-a0(G;f;t0)
∈ {G ⊢ _:(A)[1(𝕀)]}

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  CubicalSet\{j\}
2.  phi  :  \{G  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
3.  A  :  \{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_\}
4.  T  :  \{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_\}
5.  f  :  \{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(T  {}\mrightarrow{}  A)\}
6.  t  :  \{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:T\}
7.  t0  :  \{G  \mvdash{}  \_:(T)[0(\mBbbI{})][phi  |{}\mrightarrow{}  t[0]]\}
8.  cT  :  G.\mBbbI{}  +\mvdash{}  Compositon(T)
9.  cA  :  G.\mBbbI{}  \mvdash{}  Compositon(A)
10.  p+  \mmember{}  G.\mBbbI{}.\mBbbI{}  ij{}\mrightarrow{}  G.\mBbbI{}
11.  app(f;  t)  \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:A\}
12.  \{G.\mBbbI{}.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(A)p+\}  \msubseteq{}r  \{G.\mBbbI{},  ((phi)p  \mvee{}  (q=1)).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(A)p+\}
13.  \{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:((A)p+)[1(\mBbbI{})][((phi)p  \mvee{}  (q=1))  |{}\mrightarrow{}  ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(\mBbbI{})]]\}  \mmember{}  \mBbbU{}\{[i'  |  j']\}
14.  (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+  \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  ((phi)p  \mvee{}  (q=1)).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(A)p+\}
15.  (pres-a0(G;f;t0))p  \mmember{}  \{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:((A)p+)[0(\mBbbI{})][((phi)p  \mvee{}  (q=1)) 
                                                                    |{}\mrightarrow{}  ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[0(\mBbbI{})]]\}
\mvdash{}  (comp  (cA)p+  [((phi)p  \mvee{}  (q=1))  \mvdash{}\mrightarrow{}  (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+]  (pres-a0(G;f;t0))p)[0(\mBbbI{})]
=  pres-c1(G;phi;f;t;t0;cA)


By

---

Latex:
((InstLemma  `comp\_term\_wf`  [\mkleeneopen{}G.\mBbbI{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}((phi)p  \mvee{}  (q=1))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(A)p+\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(cA)p+\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+\mkleeneclose{};
    \mkleeneopen{}(pres-a0(G;f;t0))p\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  Auto
    )
  THEN  Unfold  `pres-c1`  0
  THEN  Try  (Fold  `pres-a0`  0)
  THEN  (InstLemma  `csm-comp\_term`  [\mkleeneopen{}G.\mBbbI{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}((phi)p  \mvee{}  (q=1))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(A)p+\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(cA)p+\mkleeneclose{};
              \mkleeneopen{}(presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(pres-a0(G;f;t0))p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}G\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}[0(\mBbbI{})]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  (Subst'  (((A)p+)[0(\mBbbI{})]+)[1(\mBbbI{})]  \msim{}  (A)[1(\mBbbI{})]  -1  THENA  (CsmUnfolding  THEN  Auto))
  THEN  (Subst'  (((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[0(\mBbbI{})]+)[1(\mBbbI{})]  \msim{}  (presw(G;phi;f;t;t0;cT))[1(\mBbbI{})]  -1
              THENA  (CsmUnfolding  THEN  Auto)
              ))

---

Home Index