---

Step * 1 1 1 1 of Lemma eu-exists-middle


1. e : EuclideanStructure@i'
2. ∀[a,b:Point].  ab=ba@i'
3. (∀[a,b,p,q,r,s:Point].  (pq=rs) supposing (ab=rs and ab=pq))
∧ (∀[a,b,c:Point].  a = b ∈ Point supposing ab=cc)
∧ (∀[q:Point]. ∀[a:{a:Point| ¬(q = a ∈ Point)} ]. ∀[b,c:Point].  (q_a_(extend qa by bc) ∧ a(extend qa by bc)=bc))
∧ (∀[a,b,c,d,A,B,C,D:Point].
     (cd=CD) supposing (bd=BD and ad=AD and bc=BC and ab=AB and A_B_C and a_b_c and (¬(a = b ∈ Point))))
∧ (∀[a,b:Point].  (¬a-b-a))
∧ (∀[a,b:Point]. ∀[c:{c:Point| ¬Colinear(a;b;c)} ]. ∀[p:{p:Point| a-p-c} ]. ∀[q:{q:Point| b_q_c} ].
     let x = eu-inner-pasch(e;a;b;c;p;q) in
         p-x-b ∧ q-x-a)
∧ (∀[a,b,p,q,r:Point].  (Colinear(p;q;r)) supposing (ra=rb and qa=qb and pa=pb and (¬(a = b ∈ Point))))
∧ (∀[a,b:Point]. ∀[c:{c:Point| ¬Colinear(a;b;c)} ].  let x = middle(a;b;c) in ax=bx ∧ ax=cx)
∧ (∀[a,b:Point]. ∀[x:{x:Point| a_x_b} ]. ∀[y:{y:Point| a_b_y} ]. ∀[p:{p:Point| ap=ax} ]. ∀[q:{q:Point| 
                                                                                           aq=ay ∧ (¬(q = p ∈ Point))} ]\000C.
     let uv = intersect pq (at radius xy) with Oab  in
         afst(uv)=ab
         ∧ asnd(uv)=ab
         ∧ p_fst(uv)_q
         ∧ snd(uv)_p_q
         ∧ ¬((fst(uv)) = (snd(uv)) ∈ Point) supposing ¬(x = b ∈ Point))
∧ (∀[a,b,c:Point].  c-b-a supposing a-b-c)
∧ (∀[a,b,c,d:Point].  (a-b-c) supposing (b-c-d and a-b-d))@i'
4. a : Point@i
5. b : Point@i
6. c : {p:Point| ¬Colinear(a;b;p)} @i
⊢ (middle(a;b;c) = middle(a;b;c) ∈ Point) ∧ amiddle(a;b;c)=bmiddle(a;b;c) ∧ amiddle(a;b;c)=cmiddle(a;b;c)
BY
{ RepeatFor 8 (D (-4)) }

1
1. e : EuclideanStructure@i'
2. ∀[a,b:Point].  ab=ba@i'
3. ∀[a,b,p,q,r,s:Point].  (pq=rs) supposing (ab=rs and ab=pq)@i'
4. ∀[a,b,c:Point].  a = b ∈ Point supposing ab=cc@i'
5. ∀[q:Point]. ∀[a:{a:Point| ¬(q = a ∈ Point)} ]. ∀[b,c:Point].  (q_a_(extend qa by bc) ∧ a(extend qa by bc)=bc)@i'
6. ∀[a,b,c,d,A,B,C,D:Point].
     (cd=CD) supposing (bd=BD and ad=AD and bc=BC and ab=AB and A_B_C and a_b_c and (¬(a = b ∈ Point)))@i'
7. ∀[a,b:Point].  (¬a-b-a)@i'
8. ∀[a,b:Point]. ∀[c:{c:Point| ¬Colinear(a;b;c)} ]. ∀[p:{p:Point| a-p-c} ]. ∀[q:{q:Point| b_q_c} ].
     let x = eu-inner-pasch(e;a;b;c;p;q) in
         p-x-b ∧ q-x-a@i'
9. ∀[a,b,p,q,r:Point].  (Colinear(p;q;r)) supposing (ra=rb and qa=qb and pa=pb and (¬(a = b ∈ Point)))@i'
10. ∀[a,b:Point]. ∀[c:{c:Point| ¬Colinear(a;b;c)} ].  let x = middle(a;b;c) in ax=bx ∧ ax=cx@i'
11. (∀[a,b:Point]. ∀[x:{x:Point| a_x_b} ]. ∀[y:{y:Point| a_b_y} ]. ∀[p:{p:Point| ap=ax} ]. ∀[q:{q:Point| 
                                                                                             aq=ay
                                                                                             ∧ (¬(q = p ∈ Point))} ].
       let uv = intersect pq (at radius xy) with Oab  in
           afst(uv)=ab
           ∧ asnd(uv)=ab
           ∧ p_fst(uv)_q
           ∧ snd(uv)_p_q
           ∧ ¬((fst(uv)) = (snd(uv)) ∈ Point) supposing ¬(x = b ∈ Point))
∧ (∀[a,b,c:Point].  c-b-a supposing a-b-c)
∧ (∀[a,b,c,d:Point].  (a-b-c) supposing (b-c-d and a-b-d))@i'
12. a : Point@i
13. b : Point@i
14. c : {p:Point| ¬Colinear(a;b;p)} @i
⊢ (middle(a;b;c) = middle(a;b;c) ∈ Point) ∧ amiddle(a;b;c)=bmiddle(a;b;c) ∧ amiddle(a;b;c)=cmiddle(a;b;c)

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanStructure@i'
2.  \mforall{}[a,b:Point].    ab=ba@i'
3.  (\mforall{}[a,b,p,q,r,s:Point].    (pq=rs)  supposing  (ab=rs  and  ab=pq))
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b,c:Point].    a  =  b  supposing  ab=cc)
\mwedge{}  (\mforall{}[q:Point].  \mforall{}[a:\{a:Point|  \mneg{}(q  =  a)\}  ].  \mforall{}[b,c:Point].
          (q\_a\_(extend  qa  by  bc)  \mwedge{}  a(extend  qa  by  bc)=bc))
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b,c,d,A,B,C,D:Point].
          (cd=CD)  supposing  (bd=BD  and  ad=AD  and  bc=BC  and  ab=AB  and  A\_B\_C  and  a\_b\_c  and  (\mneg{}(a  =  b))))
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b:Point].    (\mneg{}a-b-a))
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b:Point].  \mforall{}[c:\{c:Point|  \mneg{}Colinear(a;b;c)\}  ].  \mforall{}[p:\{p:Point|  a-p-c\}  ].  \mforall{}[q:\{q:Point|  b\_q\_c\}  ].
          let  x  =  eu-inner-pasch(e;a;b;c;p;q)  in
                  p-x-b  \mwedge{}  q-x-a)
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b,p,q,r:Point].    (Colinear(p;q;r))  supposing  (ra=rb  and  qa=qb  and  pa=pb  and  (\mneg{}(a  =  b))))
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b:Point].  \mforall{}[c:\{c:Point|  \mneg{}Colinear(a;b;c)\}  ].    let  x  =  middle(a;b;c)  in  ax=bx  \mwedge{}  ax=cx)
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b:Point].  \mforall{}[x:\{x:Point|  a\_x\_b\}  ].  \mforall{}[y:\{y:Point|  a\_b\_y\}  ].  \mforall{}[p:\{p:Point|  ap=ax\}  ].
      \mforall{}[q:\{q:Point|  aq=ay  \mwedge{}  (\mneg{}(q  =  p))\}  ].
          let  uv  =  intersect  pq  (at  radius  xy)  with  Oab    in
                  afst(uv)=ab
                  \mwedge{}  asnd(uv)=ab
                  \mwedge{}  p\_fst(uv)\_q
                  \mwedge{}  snd(uv)\_p\_q
                  \mwedge{}  \mneg{}((fst(uv))  =  (snd(uv)))  supposing  \mneg{}(x  =  b))
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b,c:Point].    c-b-a  supposing  a-b-c)
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b,c,d:Point].    (a-b-c)  supposing  (b-c-d  and  a-b-d))@i'
4.  a  :  Point@i
5.  b  :  Point@i
6.  c  :  \{p:Point|  \mneg{}Colinear(a;b;p)\}  @i
\mvdash{}  (middle(a;b;c)  =  middle(a;b;c))  \mwedge{}  amiddle(a;b;c)=bmiddle(a;b;c)  \mwedge{}  amiddle(a;b;c)=cmiddle(a;b;c)


By

---

Latex:
RepeatFor  8  (D  (-4))

---

Home Index