---

Step * 1 1 1 of Lemma eu-seg-extend_wf


1. e : EuclideanStructure
2. ∀[a,b:Point].  ab=ba
3. ∀[a,b,p,q,r,s:Point].  (pq=rs) supposing (ab=rs and ab=pq)
4. ∀[a,b,c:Point].  a = b ∈ Point supposing ab=cc
5. ∀[q:Point]. ∀[a:{a:Point| ¬(q = a ∈ Point)} ]. ∀[b,c:Point].  (q_a_(extend qa by bc) ∧ a(extend qa by bc)=bc)
6. ∀[a,b,c,d,A,B,C,D:Point].
     (cd=CD) supposing (bd=BD and ad=AD and bc=BC and ab=AB and A_B_C and a_b_c and (¬(a = b ∈ Point)))
7. ∀[a,b:Point].  (¬a-b-a)
8. ∀[a,b:Point]. ∀[c:{c:Point| ¬Colinear(a;b;c)} ]. ∀[p:{p:Point| a-p-c} ]. ∀[q:{q:Point| b_q_c} ].
     let x = eu-inner-pasch(e;a;b;c;p;q) in
         p-x-b ∧ q-x-a
9. ∀[a,b,p,q,r:Point].  (Colinear(p;q;r)) supposing (ra=rb and qa=qb and pa=pb and (¬(a = b ∈ Point)))
10. ∀[a,b:Point]. ∀[c:{c:Point| ¬Colinear(a;b;c)} ].  let x = middle(a;b;c) in ax=bx ∧ ax=cx
11. ∀[a,b:Point]. ∀[x:{x:Point| a_x_b} ]. ∀[y:{y:Point| a_b_y} ]. ∀[p:{p:Point| ap=ax} ]. ∀[q:{q:Point| 
                                                                                            aq=ay
                                                                                            ∧ (¬(q = p ∈ Point))} ].
      let uv = intersect pq (at radius xy) with Oab  in
          afst(uv)=ab
          ∧ asnd(uv)=ab
          ∧ p_fst(uv)_q
          ∧ snd(uv)_p_q
          ∧ ¬((fst(uv)) = (snd(uv)) ∈ Point) supposing ¬(x = b ∈ Point)
12. ∀[a,b,c:Point].  c-b-a supposing a-b-c
13. ∀[a,b,c,d:Point].  (a-b-c) supposing (b-c-d and a-b-d)
14. s1 : Point
15. s2 : Point
16. ¬(s1 = s2 ∈ Point)
17. t1 : Point
18. t2 : Point
19. e ∈ EuclideanPlane
20. s1 = (extend s1s2 by t1t2) ∈ Point
⊢ False
BY
{ (InstHyp [⌜s1⌝;⌜s2⌝;⌜t1⌝;⌜t2⌝] 5⋅ THENA Auto) }

1
1. e : EuclideanStructure
2. ∀[a,b:Point].  ab=ba
3. ∀[a,b,p,q,r,s:Point].  (pq=rs) supposing (ab=rs and ab=pq)
4. ∀[a,b,c:Point].  a = b ∈ Point supposing ab=cc
5. ∀[q:Point]. ∀[a:{a:Point| ¬(q = a ∈ Point)} ]. ∀[b,c:Point].  (q_a_(extend qa by bc) ∧ a(extend qa by bc)=bc)
6. ∀[a,b,c,d,A,B,C,D:Point].
     (cd=CD) supposing (bd=BD and ad=AD and bc=BC and ab=AB and A_B_C and a_b_c and (¬(a = b ∈ Point)))
7. ∀[a,b:Point].  (¬a-b-a)
8. ∀[a,b:Point]. ∀[c:{c:Point| ¬Colinear(a;b;c)} ]. ∀[p:{p:Point| a-p-c} ]. ∀[q:{q:Point| b_q_c} ].
     let x = eu-inner-pasch(e;a;b;c;p;q) in
         p-x-b ∧ q-x-a
9. ∀[a,b,p,q,r:Point].  (Colinear(p;q;r)) supposing (ra=rb and qa=qb and pa=pb and (¬(a = b ∈ Point)))
10. ∀[a,b:Point]. ∀[c:{c:Point| ¬Colinear(a;b;c)} ].  let x = middle(a;b;c) in ax=bx ∧ ax=cx
11. ∀[a,b:Point]. ∀[x:{x:Point| a_x_b} ]. ∀[y:{y:Point| a_b_y} ]. ∀[p:{p:Point| ap=ax} ]. ∀[q:{q:Point| 
                                                                                            aq=ay
                                                                                            ∧ (¬(q = p ∈ Point))} ].
      let uv = intersect pq (at radius xy) with Oab  in
          afst(uv)=ab
          ∧ asnd(uv)=ab
          ∧ p_fst(uv)_q
          ∧ snd(uv)_p_q
          ∧ ¬((fst(uv)) = (snd(uv)) ∈ Point) supposing ¬(x = b ∈ Point)
12. ∀[a,b,c:Point].  c-b-a supposing a-b-c
13. ∀[a,b,c,d:Point].  (a-b-c) supposing (b-c-d and a-b-d)
14. s1 : Point
15. s2 : Point
16. ¬(s1 = s2 ∈ Point)
17. t1 : Point
18. t2 : Point
19. e ∈ EuclideanPlane
20. s1 = (extend s1s2 by t1t2) ∈ Point
21. s1_s2_(extend s1s2 by t1t2) ∧ s2(extend s1s2 by t1t2)=t1t2
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanStructure
2.  \mforall{}[a,b:Point].    ab=ba
3.  \mforall{}[a,b,p,q,r,s:Point].    (pq=rs)  supposing  (ab=rs  and  ab=pq)
4.  \mforall{}[a,b,c:Point].    a  =  b  supposing  ab=cc
5.  \mforall{}[q:Point].  \mforall{}[a:\{a:Point|  \mneg{}(q  =  a)\}  ].  \mforall{}[b,c:Point].
          (q\_a\_(extend  qa  by  bc)  \mwedge{}  a(extend  qa  by  bc)=bc)
6.  \mforall{}[a,b,c,d,A,B,C,D:Point].
          (cd=CD)  supposing  (bd=BD  and  ad=AD  and  bc=BC  and  ab=AB  and  A\_B\_C  and  a\_b\_c  and  (\mneg{}(a  =  b)))
7.  \mforall{}[a,b:Point].    (\mneg{}a-b-a)
8.  \mforall{}[a,b:Point].  \mforall{}[c:\{c:Point|  \mneg{}Colinear(a;b;c)\}  ].  \mforall{}[p:\{p:Point|  a-p-c\}  ].  \mforall{}[q:\{q:Point|  b\_q\_c\}  ].
          let  x  =  eu-inner-pasch(e;a;b;c;p;q)  in
                  p-x-b  \mwedge{}  q-x-a
9.  \mforall{}[a,b,p,q,r:Point].    (Colinear(p;q;r))  supposing  (ra=rb  and  qa=qb  and  pa=pb  and  (\mneg{}(a  =  b)))
10.  \mforall{}[a,b:Point].  \mforall{}[c:\{c:Point|  \mneg{}Colinear(a;b;c)\}  ].    let  x  =  middle(a;b;c)  in  ax=bx  \mwedge{}  ax=cx
11.  \mforall{}[a,b:Point].  \mforall{}[x:\{x:Point|  a\_x\_b\}  ].  \mforall{}[y:\{y:Point|  a\_b\_y\}  ].  \mforall{}[p:\{p:Point|  ap=ax\}  ].
        \mforall{}[q:\{q:Point|  aq=ay  \mwedge{}  (\mneg{}(q  =  p))\}  ].
            let  uv  =  intersect  pq  (at  radius  xy)  with  Oab    in
                    afst(uv)=ab
                    \mwedge{}  asnd(uv)=ab
                    \mwedge{}  p\_fst(uv)\_q
                    \mwedge{}  snd(uv)\_p\_q
                    \mwedge{}  \mneg{}((fst(uv))  =  (snd(uv)))  supposing  \mneg{}(x  =  b)
12.  \mforall{}[a,b,c:Point].    c-b-a  supposing  a-b-c
13.  \mforall{}[a,b,c,d:Point].    (a-b-c)  supposing  (b-c-d  and  a-b-d)
14.  s1  :  Point
15.  s2  :  Point
16.  \mneg{}(s1  =  s2)
17.  t1  :  Point
18.  t2  :  Point
19.  e  \mmember{}  EuclideanPlane
20.  s1  =  (extend  s1s2  by  t1t2)
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}s1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}t1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}t2\mkleeneclose{}]  5\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index