---

Step * 1 1 2 of Lemma Euclid-Prop22


1. e : EuclideanPlane
2. a1 : Point
3. a2 : Point
4. b1 : Point
5. b2 : Point
6. c1 : Point
7. c2 : Point
8. |a1a2| < |b1b2| + |c1c2|
9. |b1b2| < |a1a2| + |c1c2|
10. |c1c2| < |a1a2| + |b1b2|
11. a1 # a2
12. b1 # b2
13. c1 # c2
14. f : Point
15. O-X-f
16. Xf ≅ a1a2
17. g : Point
18. X-f-g
19. fg ≅ b1b2
20. h : Point
21. f-g-h
22. gh ≅ c1c2
23. ∃x':Point. (X-f-x' ∧ Xf ≅ fx')
⊢ ∃p,q:Point. ((fX ≅ fp ∧ gh>gp) ∧ gh ≅ gq ∧ fX>fq)
BY
{ (ExRepD
   THEN (Assert f-x'-h BY
               ((Assert |a1a2| = |fx'| ∈ Length BY
                       Auto)
                THEN (Assert |b1b2| + |c1c2| = |fh| ∈ Length BY
                            Auto)
                THEN ((RWO "-2" 8 THENA Auto) THEN RWO "-2" 27 THEN Auto)
                THEN (InstLemma `geo-lt-out-to-between` [⌜e⌝;⌜f⌝;⌜x'⌝;⌜h⌝]⋅ THEN Auto)
                THEN InstLemma `geo-out-iff-between1` [⌜e⌝;⌜f⌝;⌜x'⌝;⌜h⌝;⌜X⌝]⋅
                THEN Auto))
   ) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. a1 : Point
3. a2 : Point
4. b1 : Point
5. b2 : Point
6. c1 : Point
7. c2 : Point
8. |a1a2| < |b1b2| + |c1c2|
9. |b1b2| < |a1a2| + |c1c2|
10. |c1c2| < |a1a2| + |b1b2|
11. a1 # a2
12. b1 # b2
13. c1 # c2
14. f : Point
15. O-X-f
16. Xf ≅ a1a2
17. g : Point
18. X-f-g
19. fg ≅ b1b2
20. h : Point
21. f-g-h
22. gh ≅ c1c2
23. x' : Point
24. X-f-x'
25. Xf ≅ fx'
26. f-x'-h
⊢ ∃p,q:Point. ((fX ≅ fp ∧ gh>gp) ∧ gh ≅ gq ∧ fX>fq)

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a1  :  Point
3.  a2  :  Point
4.  b1  :  Point
5.  b2  :  Point
6.  c1  :  Point
7.  c2  :  Point
8.  |a1a2|  <  |b1b2|  +  |c1c2|
9.  |b1b2|  <  |a1a2|  +  |c1c2|
10.  |c1c2|  <  |a1a2|  +  |b1b2|
11.  a1  \#  a2
12.  b1  \#  b2
13.  c1  \#  c2
14.  f  :  Point
15.  O-X-f
16.  Xf  \mcong{}  a1a2
17.  g  :  Point
18.  X-f-g
19.  fg  \mcong{}  b1b2
20.  h  :  Point
21.  f-g-h
22.  gh  \mcong{}  c1c2
23.  \mexists{}x':Point.  (X-f-x'  \mwedge{}  Xf  \mcong{}  fx')
\mvdash{}  \mexists{}p,q:Point.  ((fX  \mcong{}  fp  \mwedge{}  gh>gp)  \mwedge{}  gh  \mcong{}  gq  \mwedge{}  fX>fq)


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (Assert  f-x'-h  BY
                          ((Assert  |a1a2|  =  |fx'|  BY
                                          Auto)
                            THEN  (Assert  |b1b2|  +  |c1c2|  =  |fh|  BY
                                                    Auto)
                            THEN  ((RWO  "-2"  8  THENA  Auto)  THEN  RWO  "-2"  27  THEN  Auto)
                            THEN  (InstLemma  `geo-lt-out-to-between`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}h\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                            THEN  InstLemma  `geo-out-iff-between1`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}h\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index