---

Step * 2 1 of Lemma Euclid-Prop23_half-plane2


1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. x : Point
5. y : Point
6. z : Point
7. z # xy
8. a # b
9. |yz| < |yx| + |xz|
10. |xz| < |yx| + |yz|
11. |yx| < |xz| + |yz|
12. b1 : Point
13. c1 : Point
14. c2 : Point
15. xy ≅ ab1
16. out(a bb1)
17. xz ≅ ac1
18. b1c2 > b1c1
19. yz ≅ b1c2
20. ac1 > ac2
21. v : {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
22. geo-CCR(e;a;c1;b1;c2) = v ∈ {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
23. out(a bb1)
24. v leftof b1a
⊢ vab1 ≅a zxy
BY
{ (Unfold `geo-cong-angle` 0 THEN GenRepD) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. x : Point
5. y : Point
6. z : Point
7. z # xy
8. a # b
9. |yz| < |yx| + |xz|
10. |xz| < |yx| + |yz|
11. |yx| < |xz| + |yz|
12. b1 : Point
13. c1 : Point
14. c2 : Point
15. xy ≅ ab1
16. out(a bb1)
17. xz ≅ ac1
18. b1c2 > b1c1
19. yz ≅ b1c2
20. ac1 > ac2
21. v : {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
22. geo-CCR(e;a;c1;b1;c2) = v ∈ {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
23. out(a bb1)
24. v leftof b1a
⊢ v # a

2
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. x : Point
5. y : Point
6. z : Point
7. z # xy
8. a # b
9. |yz| < |yx| + |xz|
10. |xz| < |yx| + |yz|
11. |yx| < |xz| + |yz|
12. b1 : Point
13. c1 : Point
14. c2 : Point
15. xy ≅ ab1
16. out(a bb1)
17. xz ≅ ac1
18. b1c2 > b1c1
19. yz ≅ b1c2
20. ac1 > ac2
21. v : {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
22. geo-CCR(e;a;c1;b1;c2) = v ∈ {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
23. out(a bb1)
24. v leftof b1a
⊢ a # b1

3
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. x : Point
5. y : Point
6. z : Point
7. z # xy
8. a # b
9. |yz| < |yx| + |xz|
10. |xz| < |yx| + |yz|
11. |yx| < |xz| + |yz|
12. b1 : Point
13. c1 : Point
14. c2 : Point
15. xy ≅ ab1
16. out(a bb1)
17. xz ≅ ac1
18. b1c2 > b1c1
19. yz ≅ b1c2
20. ac1 > ac2
21. v : {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
22. geo-CCR(e;a;c1;b1;c2) = v ∈ {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
23. out(a bb1)
24. v leftof b1a
⊢ z # x

4
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. x : Point
5. y : Point
6. z : Point
7. z # xy
8. a # b
9. |yz| < |yx| + |xz|
10. |xz| < |yx| + |yz|
11. |yx| < |xz| + |yz|
12. b1 : Point
13. c1 : Point
14. c2 : Point
15. xy ≅ ab1
16. out(a bb1)
17. xz ≅ ac1
18. b1c2 > b1c1
19. yz ≅ b1c2
20. ac1 > ac2
21. v : {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
22. geo-CCR(e;a;c1;b1;c2) = v ∈ {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
23. out(a bb1)
24. v leftof b1a
⊢ x # y

5
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. x : Point
5. y : Point
6. z : Point
7. z # xy
8. a # b
9. |yz| < |yx| + |xz|
10. |xz| < |yx| + |yz|
11. |yx| < |xz| + |yz|
12. b1 : Point
13. c1 : Point
14. c2 : Point
15. xy ≅ ab1
16. out(a bb1)
17. xz ≅ ac1
18. b1c2 > b1c1
19. yz ≅ b1c2
20. ac1 > ac2
21. v : {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
22. geo-CCR(e;a;c1;b1;c2) = v ∈ {v:Point| ac1 ≅ av ∧ b1c2 ≅ b1v ∧ v leftof b1a} 
23. out(a bb1)
24. v leftof b1a
⊢ ∃a',c',x',z':Point. (B(ava') ∧ B(ab1c') ∧ B(xzx') ∧ B(xyz') ∧ aa' ≅ xx' ∧ ac' ≅ xz' ∧ a'c' ≅ x'z')

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  x  :  Point
5.  y  :  Point
6.  z  :  Point
7.  z  \#  xy
8.  a  \#  b
9.  |yz|  <  |yx|  +  |xz|
10.  |xz|  <  |yx|  +  |yz|
11.  |yx|  <  |xz|  +  |yz|
12.  b1  :  Point
13.  c1  :  Point
14.  c2  :  Point
15.  xy  \mcong{}  ab1
16.  out(a  bb1)
17.  xz  \mcong{}  ac1
18.  b1c2  >  b1c1
19.  yz  \mcong{}  b1c2
20.  ac1  >  ac2
21.  v  :  \{v:Point|  ac1  \mcong{}  av  \mwedge{}  b1c2  \mcong{}  b1v  \mwedge{}  v  leftof  b1a\} 
22.  geo-CCR(e;a;c1;b1;c2)  =  v
23.  out(a  bb1)
24.  v  leftof  b1a
\mvdash{}  vab1  \mcong{}\msuba{}  zxy


By

---

Latex:
(Unfold  `geo-cong-angle`  0  THEN  GenRepD)

---

Home Index