---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 of Lemma Prop22-inequality-to-triangle-construction


1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. |ac| < |ab| + |bc|
6. |ab| < |ac| + |bc|
7. |bc| < |ac| + |ab|
8. a ≠ b
9. b ≠ c
10. c ≠ a
11. x : Point
12. b-a-x
13. ax ≅ OX
14. y : Point
15. a-b-y
16. by ≅ OX
17. c1 : Point
18. x-a-c1
19. ac1 ≅ ac
20. c2 : Point
21. y-b-c2
22. bc2 ≅ bc
23. c1' : Point
24. b-a-c1'
25. ac1' ≅ ac1
26. c2' : Point
27. a-b-c2'
28. bc2' ≅ bc2
29. c1'' : Point
30. a_b_c1''
31. bc1'' ≅ bc1
32. c2'' : Point
33. b_a_c2''
34. ac2'' ≅ ac2
35. a-c1-c2'
36. c2'_b_c2
37. c1'-c2-c2'
38. c1'-a-c1
39. out(c1' c2c1)
40. |c1'c2| < |c1'c1| ⇒ |c1'c2| + |c2b| < |c1'c1| + |c2b|
41. |c1'c2| + |c2b| = |c1'a| + |ab| ∈ Length
⊢ |c1'c2| + |c2b| < |c1'c1| + |c2b|
BY
{ (((((RWO "-1" 0 THEN Auto) THEN (Assert |c1'a| = |ac| ∈ Length BY Auto)) THEN RWO "-1" 0 THEN Auto)
    THEN ((D 38 THEN FLemma  `geo-add-length-between` [38]) THEN Auto)
    THEN RWO "-1" 0
    THEN Auto)
   THEN (Assert |c1'a| + |ac1| + |c2b| = |ac| + |ac| + |bc| ∈ Length BY
               Auto)
   THEN ((Assert |ac| + |ac| + |bc| = |ac| + |ac| + |bc| ∈ Length BY Auto) THEN RWO "-1" 46 THEN Auto)
   THEN RWO "-2" 0
   THEN Auto) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. |ac| < |ab| + |bc|
6. |ab| < |ac| + |bc|
7. |bc| < |ac| + |ab|
8. a ≠ b
9. b ≠ c
10. c ≠ a
11. x : Point
12. b-a-x
13. ax ≅ OX
14. y : Point
15. a-b-y
16. by ≅ OX
17. c1 : Point
18. x-a-c1
19. ac1 ≅ ac
20. c2 : Point
21. y-b-c2
22. bc2 ≅ bc
23. c1' : Point
24. b-a-c1'
25. ac1' ≅ ac1
26. c2' : Point
27. a-b-c2'
28. bc2' ≅ bc2
29. c1'' : Point
30. a_b_c1''
31. bc1'' ≅ bc1
32. c2'' : Point
33. b_a_c2''
34. ac2'' ≅ ac2
35. a-c1-c2'
36. c2'_b_c2
37. c1'-c2-c2'
38. c1'_a_c1
39. c1' ≠ a
40. a ≠ c1
41. out(c1' c2c1)
42. |c1'c2| < |c1'c1| ⇒ |c1'c2| + |c2b| < |c1'c1| + |c2b|
43. |c1'c2| + |c2b| = |c1'a| + |ab| ∈ Length
44. |c1'a| = |ac| ∈ Length
45. |c1'c1| = |c1'a| + |ac1| ∈ Length
46. |c1'a| + |ac1| + |c2b| = |ac| + |ac| + |bc| ∈ Length
47. |ac| + |ac| + |bc| = |ac| + |ac| + |bc| ∈ Length
⊢ |ac| + |ab| < |ac| + |ac| + |bc|

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  |ac|  <  |ab|  +  |bc|
6.  |ab|  <  |ac|  +  |bc|
7.  |bc|  <  |ac|  +  |ab|
8.  a  \mneq{}  b
9.  b  \mneq{}  c
10.  c  \mneq{}  a
11.  x  :  Point
12.  b-a-x
13.  ax  \mcong{}  OX
14.  y  :  Point
15.  a-b-y
16.  by  \mcong{}  OX
17.  c1  :  Point
18.  x-a-c1
19.  ac1  \mcong{}  ac
20.  c2  :  Point
21.  y-b-c2
22.  bc2  \mcong{}  bc
23.  c1'  :  Point
24.  b-a-c1'
25.  ac1'  \mcong{}  ac1
26.  c2'  :  Point
27.  a-b-c2'
28.  bc2'  \mcong{}  bc2
29.  c1''  :  Point
30.  a\_b\_c1''
31.  bc1''  \mcong{}  bc1
32.  c2''  :  Point
33.  b\_a\_c2''
34.  ac2''  \mcong{}  ac2
35.  a-c1-c2'
36.  c2'\_b\_c2
37.  c1'-c2-c2'
38.  c1'-a-c1
39.  out(c1'  c2c1)
40.  |c1'c2|  <  |c1'c1|  {}\mRightarrow{}  |c1'c2|  +  |c2b|  <  |c1'c1|  +  |c2b|
41.  |c1'c2|  +  |c2b|  =  |c1'a|  +  |ab|
\mvdash{}  |c1'c2|  +  |c2b|  <  |c1'c1|  +  |c2b|


By

---

Latex:
(((((RWO  "-1"  0  THEN  Auto)  THEN  (Assert  |c1'a|  =  |ac|  BY  Auto))  THEN  RWO  "-1"  0  THEN  Auto)
    THEN  ((D  38  THEN  FLemma    `geo-add-length-between`  [38])  THEN  Auto)
    THEN  RWO  "-1"  0
    THEN  Auto)
  THEN  (Assert  |c1'a|  +  |ac1|  +  |c2b|  =  |ac|  +  |ac|  +  |bc|  BY
                          Auto)
  THEN  ((Assert  |ac|  +  |ac|  +  |bc|  =  |ac|  +  |ac|  +  |bc|  BY  Auto)  THEN  RWO  "-1"  46  THEN  Auto)
  THEN  RWO  "-2"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index