---

Step * 1 1 1 2 2 1 of Lemma Prop22-inequality-to-triangle-construction


1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. |ac| < |ab| + |bc|
6. |ab| < |ac| + |bc|
7. |bc| < |ac| + |ab|
8. a ≠ b
9. b ≠ c
10. c ≠ a
11. x : Point
12. b-a-x
13. ax ≅ OX
14. y : Point
15. a-b-y
16. by ≅ OX
17. c1 : Point
18. x-a-c1
19. ac1 ≅ ac
20. c2 : Point
21. y-b-c2
22. bc2 ≅ bc
23. c1' : Point
24. b-a-c1'
25. ac1' ≅ ac1
26. c2' : Point
27. a-b-c2'
28. bc2' ≅ bc2
29. c1'' : Point
30. a_b_c1''
31. bc1'' ≅ bc1
32. c2'' : Point
33. b_a_c2''
34. ac2'' ≅ ac2
35. a-c1-c2'
36. c2'_b_c2
37. c1'-c2-c2'
38. c1'-a-c1
39. c1'-c2-c1
40. c1 ≠ c1''
⊢ ∃c1,c2:Point. ((ac ≅ ac1 ∧ bc2 > bc1) ∧ bc ≅ bc2 ∧ ac1 > ac2)
BY
{ (((Assert c1=b=c1'' BY
           (InstLemma `colinear-implies-midpoint` [⌜e⌝;⌜b⌝;⌜c1⌝;⌜c1''⌝]⋅ THEN Auto))
    THEN (Assert c1 ≠ b BY
                (InstLemma `midpoint-sep` [⌜e⌝;⌜c1⌝;⌜c1''⌝;⌜b⌝]⋅ THEN Auto))
    )
   THEN (InstLemma `geo-between-same-side-or` [⌜e⌝;⌜c1'⌝;⌜a⌝;⌜c1⌝;⌜b⌝]⋅ THEN Auto)
   THEN D -1) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. |ac| < |ab| + |bc|
6. |ab| < |ac| + |bc|
7. |bc| < |ac| + |ab|
8. a ≠ b
9. b ≠ c
10. c ≠ a
11. x : Point
12. b-a-x
13. ax ≅ OX
14. y : Point
15. a-b-y
16. by ≅ OX
17. c1 : Point
18. x-a-c1
19. ac1 ≅ ac
20. c2 : Point
21. y-b-c2
22. bc2 ≅ bc
23. c1' : Point
24. b-a-c1'
25. ac1' ≅ ac1
26. c2' : Point
27. a-b-c2'
28. bc2' ≅ bc2
29. c1'' : Point
30. a_b_c1''
31. bc1'' ≅ bc1
32. c2'' : Point
33. b_a_c2''
34. ac2'' ≅ ac2
35. a-c1-c2'
36. c2'_b_c2
37. c1'-c2-c2'
38. c1'-a-c1
39. c1'-c2-c1
40. c1 ≠ c1''
41. c1=b=c1''
42. c1 ≠ b
43. c1'_c1_b
⊢ ∃c1,c2:Point. ((ac ≅ ac1 ∧ bc2 > bc1) ∧ bc ≅ bc2 ∧ ac1 > ac2)

2
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. |ac| < |ab| + |bc|
6. |ab| < |ac| + |bc|
7. |bc| < |ac| + |ab|
8. a ≠ b
9. b ≠ c
10. c ≠ a
11. x : Point
12. b-a-x
13. ax ≅ OX
14. y : Point
15. a-b-y
16. by ≅ OX
17. c1 : Point
18. x-a-c1
19. ac1 ≅ ac
20. c2 : Point
21. y-b-c2
22. bc2 ≅ bc
23. c1' : Point
24. b-a-c1'
25. ac1' ≅ ac1
26. c2' : Point
27. a-b-c2'
28. bc2' ≅ bc2
29. c1'' : Point
30. a_b_c1''
31. bc1'' ≅ bc1
32. c2'' : Point
33. b_a_c2''
34. ac2'' ≅ ac2
35. a-c1-c2'
36. c2'_b_c2
37. c1'-c2-c2'
38. c1'-a-c1
39. c1'-c2-c1
40. c1 ≠ c1''
41. c1=b=c1''
42. c1 ≠ b
43. c1'_b_c1
⊢ ∃c1,c2:Point. ((ac ≅ ac1 ∧ bc2 > bc1) ∧ bc ≅ bc2 ∧ ac1 > ac2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  |ac|  <  |ab|  +  |bc|
6.  |ab|  <  |ac|  +  |bc|
7.  |bc|  <  |ac|  +  |ab|
8.  a  \mneq{}  b
9.  b  \mneq{}  c
10.  c  \mneq{}  a
11.  x  :  Point
12.  b-a-x
13.  ax  \mcong{}  OX
14.  y  :  Point
15.  a-b-y
16.  by  \mcong{}  OX
17.  c1  :  Point
18.  x-a-c1
19.  ac1  \mcong{}  ac
20.  c2  :  Point
21.  y-b-c2
22.  bc2  \mcong{}  bc
23.  c1'  :  Point
24.  b-a-c1'
25.  ac1'  \mcong{}  ac1
26.  c2'  :  Point
27.  a-b-c2'
28.  bc2'  \mcong{}  bc2
29.  c1''  :  Point
30.  a\_b\_c1''
31.  bc1''  \mcong{}  bc1
32.  c2''  :  Point
33.  b\_a\_c2''
34.  ac2''  \mcong{}  ac2
35.  a-c1-c2'
36.  c2'\_b\_c2
37.  c1'-c2-c2'
38.  c1'-a-c1
39.  c1'-c2-c1
40.  c1  \mneq{}  c1''
\mvdash{}  \mexists{}c1,c2:Point.  ((ac  \mcong{}  ac1  \mwedge{}  bc2  >  bc1)  \mwedge{}  bc  \mcong{}  bc2  \mwedge{}  ac1  >  ac2)


By

---

Latex:
(((Assert  c1=b=c1''  BY
                  (InstLemma  `colinear-implies-midpoint`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1''\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto))
    THEN  (Assert  c1  \mneq{}  b  BY
                            (InstLemma  `midpoint-sep`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1''\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto))
    )
  THEN  (InstLemma  `geo-between-same-side-or`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  D  -1)

---

Home Index