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Step * of Lemma Prop22-symmetric-point-construction-lemma

∀e:EuclideanPlane. ∀a,b,c:Point.
  (a # bc
  ⇒ (∃c1,c1',c1'',c2,c2',c2'':Point
       ((ac1 ≅ ac ∧ out(a bc1))
       ∧ (bc2 ≅ bc ∧ out(b ac2))
       ∧ (b-a-c1' ∧ ac1' ≅ ac1)
       ∧ (a-b-c2' ∧ bc2' ≅ bc2)
       ∧ (a_b_c1'' ∧ bc1'' ≅ bc1)
       ∧ (b_a_c2'' ∧ ac2'' ≅ ac2)
       ∧ (a-c1-c2' ∧ b-c2-c1')
       ∧ (c1'-a-c1 ∧ c2'-b-c2)
       ∧ (c1'-c2-c2' ∧ c2'-c1-c1')
       ∧ c1'-c2-c1
       ∧ c2'-c1-c2)))
BY
{ ((Auto THEN (InstLemma `Euclid-Prop20_cycle` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜b⌝;⌜c⌝]⋅ THENA Auto))
   THEN ((Assert a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ c ≠ a BY
                (InstLemma `geo-triangle-inequality-lt-sep` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜b⌝;⌜b⌝;⌜c⌝;⌜a⌝;⌜c⌝]⋅ THEN Auto))
         THEN ExRepD
         )
   THEN (gProperProlong ⌜b⌝⌜a⌝`x'⌜O⌝⌜X⌝⋅ THENA Auto)
   THEN ((gProperProlong ⌜a⌝⌜b⌝`y'⌜O⌝⌜X⌝⋅ THENA Auto) THEN ExRepD)
   THEN (gProperProlong ⌜x⌝⌜a⌝`c1'⌜a⌝⌜c⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (gProperProlong ⌜y⌝⌜b⌝`c2'⌜b⌝⌜c⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. a # bc
6. |bc| < |ba| + |ac|
7. |ac| < |ba| + |bc|
8. |ba| < |ac| + |bc|
9. a ≠ b
10. b ≠ c
11. c ≠ a
12. x : Point
13. b-a-x
14. ax ≅ OX
15. y : Point
16. a-b-y
17. by ≅ OX
18. c1 : Point
19. x-a-c1 ∧ ac1 ≅ ac
20. c2 : Point
21. y-b-c2 ∧ bc2 ≅ bc
⊢ ∃c1,c1',c1'',c2,c2',c2'':Point
   ((ac1 ≅ ac ∧ out(a bc1))
   ∧ (bc2 ≅ bc ∧ out(b ac2))
   ∧ (b-a-c1' ∧ ac1' ≅ ac1)
   ∧ (a-b-c2' ∧ bc2' ≅ bc2)
   ∧ (a_b_c1'' ∧ bc1'' ≅ bc1)
   ∧ (b_a_c2'' ∧ ac2'' ≅ ac2)
   ∧ (a-c1-c2' ∧ b-c2-c1')
   ∧ (c1'-a-c1 ∧ c2'-b-c2)
   ∧ (c1'-c2-c2' ∧ c2'-c1-c1')
   ∧ c1'-c2-c1
   ∧ c2'-c1-c2)

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Latex:

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Latex:
\mforall{}e:EuclideanPlane.  \mforall{}a,b,c:Point.
    (a  \#  bc
    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}c1,c1',c1'',c2,c2',c2'':Point
              ((ac1  \mcong{}  ac  \mwedge{}  out(a  bc1))
              \mwedge{}  (bc2  \mcong{}  bc  \mwedge{}  out(b  ac2))
              \mwedge{}  (b-a-c1'  \mwedge{}  ac1'  \mcong{}  ac1)
              \mwedge{}  (a-b-c2'  \mwedge{}  bc2'  \mcong{}  bc2)
              \mwedge{}  (a\_b\_c1''  \mwedge{}  bc1''  \mcong{}  bc1)
              \mwedge{}  (b\_a\_c2''  \mwedge{}  ac2''  \mcong{}  ac2)
              \mwedge{}  (a-c1-c2'  \mwedge{}  b-c2-c1')
              \mwedge{}  (c1'-a-c1  \mwedge{}  c2'-b-c2)
              \mwedge{}  (c1'-c2-c2'  \mwedge{}  c2'-c1-c1')
              \mwedge{}  c1'-c2-c1
              \mwedge{}  c2'-c1-c2)))


By

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Latex:
((Auto  THEN  (InstLemma  `Euclid-Prop20\_cycle`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto))
  THEN  ((Assert  a  \mneq{}  b  \mwedge{}  b  \mneq{}  c  \mwedge{}  c  \mneq{}  a  BY
                            (InstLemma  `geo-triangle-inequality-lt-sep`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto))
              THEN  ExRepD
              )
  THEN  (gProperProlong  \mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}`x'\mkleeneopen{}O\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ((gProperProlong  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}`y'\mkleeneopen{}O\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  ExRepD)
  THEN  (gProperProlong  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}`c1'\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (gProperProlong  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}`c2'\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

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