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Step * of Lemma cong-angle-out-exists-cong3

∀e:EuclideanPlane. ∀a,b,c,x,y,z:Point.
  (abc ≅a xyz ⇒ (∃a',c':Point. (out(b a'a) ∧ out(b c'c) ∧ a'bc' ≅a xyz ∧ Cong3(a'bc',xyz))))
BY
{ (((Auto THEN Duplicate (-1) THEN D -1)
    THEN ((Assert ∃a':Point. (out(b aa') ∧ ba' ≅ xy) BY
                 ((((InstLemma `symmetric-point-construction` [⌜e⌝;⌜b⌝;⌜a⌝]⋅ THENA Auto) THEN ExRepD)
                   THEN gProperProlong ⌜p'⌝⌜b⌝`A'⌜x⌝⌜y⌝⋅
                   THEN Auto)
                  THEN (D 0 With ⌜A⌝  THEN Auto)
                  THEN InstLemma `geo-out-iff-between1` [⌜e⌝;⌜b⌝;⌜A⌝;⌜a⌝;⌜p'⌝]⋅
                  THEN EAuto 1))
          THEN (Assert ∃c':Point. (out(b cc') ∧ bc' ≅ yz) BY
                      ((((InstLemma `symmetric-point-construction` [⌜e⌝;⌜b⌝;⌜c⌝]⋅ THENA Auto) THEN ExRepD)
                        THEN gProperProlong ⌜p'⌝⌜b⌝`C'⌜y⌝⌜z⌝⋅
                        THEN Auto)
                       THEN (D 0 With ⌜C⌝  THEN Auto)
                       THEN InstLemma `geo-out-iff-between1` [⌜e⌝;⌜b⌝;⌜C⌝;⌜c⌝;⌜p'⌝]⋅
                       THEN EAuto 1))
          )
    THEN ExRepD
    THEN ((D 0 With ⌜a'⌝  THEN Auto) THEN D 0 With ⌜c'⌝  THEN EAuto 1)
    THEN InstLemma `out-preserves-angle-cong_1` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜b⌝;⌜c⌝;⌜x⌝;⌜y⌝;⌜z⌝;⌜a'⌝;⌜c'⌝;⌜x⌝;⌜z⌝]⋅
    THEN EAuto 1)
   THEN (D 0 THEN Auto)
   THEN InstLemma `geo-sas2` [⌜e⌝;⌜b⌝;⌜a'⌝;⌜c'⌝;⌜y⌝;⌜x⌝;⌜z⌝]⋅
   THEN Auto) }

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Latex:

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Latex:
\mforall{}e:EuclideanPlane.  \mforall{}a,b,c,x,y,z:Point.
    (abc  \mcong{}\msuba{}  xyz  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',c':Point.  (out(b  a'a)  \mwedge{}  out(b  c'c)  \mwedge{}  a'bc'  \mcong{}\msuba{}  xyz  \mwedge{}  Cong3(a'bc',xyz))))


By

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Latex:
(((Auto  THEN  Duplicate  (-1)  THEN  D  -1)
    THEN  ((Assert  \mexists{}a':Point.  (out(b  aa')  \mwedge{}  ba'  \mcong{}  xy)  BY
                              ((((InstLemma  `symmetric-point-construction`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  ExRepD)
                                  THEN  gProperProlong  \mkleeneopen{}p'\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}`A'\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}\mcdot{}
                                  THEN  Auto)
                                THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}A\mkleeneclose{}    THEN  Auto)
                                THEN  InstLemma  `geo-out-iff-between1`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p'\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                THEN  EAuto  1))
                THEN  (Assert  \mexists{}c':Point.  (out(b  cc')  \mwedge{}  bc'  \mcong{}  yz)  BY
                                        ((((InstLemma  `symmetric-point-construction`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                                              THEN  ExRepD
                                              )
                                            THEN  gProperProlong  \mkleeneopen{}p'\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}`C'\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}\mcdot{}
                                            THEN  Auto)
                                          THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}C\mkleeneclose{}    THEN  Auto)
                                          THEN  InstLemma  `geo-out-iff-between1`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}C\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p'\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                          THEN  EAuto  1))
                )
    THEN  ExRepD
    THEN  ((D  0  With  \mkleeneopen{}a'\mkleeneclose{}    THEN  Auto)  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}c'\mkleeneclose{}    THEN  EAuto  1)
    THEN  InstLemma  `out-preserves-angle-cong\_1`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THEN  EAuto  1)
  THEN  (D  0  THEN  Auto)
  THEN  InstLemma  `geo-sas2`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

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