---

Step * 1 of Lemma geo-gt-prim-transitivity


1. g : EuclideanPlaneStructure
2. ∀a,b,c,d:Point.  (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point.  (ab>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point.  bc ≥ aa
5. ∀a,b,x:Point.  ((¬a # b) ⇒ xa ≥ bx)
6. ∀a,b,c,d,e,f:Point.  (ab>cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab>ef)
7. ∀a,b,c,d,e,f:Point.  (ab ≥ cd ⇒ cd>ef ⇒ ab>ef)
8. ∀a,b,c:Point.  (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
9. ∀a,b,c:Point.  (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
10. ∀a,b,c:Point.  (a leftof bc ⇒ b # c)
11. ∀a,b,c,d:Point.  (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
12. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point.  (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
13. ∀a,b,c,x,y:Point.  (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
14. ∀a,b,x,y,z:Point.  (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
15. ∀a,b,c,y:Point.  (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
16. a : Point
17. b : Point
18. c : Point
19. d : Point
20. e : Point
21. f : Point
22. ab>cd
23. cd>ef
⊢ ab>ef
BY
{ (InstHyp [⌜a⌝;⌜b⌝;⌜c⌝;⌜d⌝;⌜e⌝;⌜f⌝] (6)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  EuclideanPlaneStructure
2.  \mforall{}a,b,c,d:Point.    (ab>cd  {}\mRightarrow{}  ab  \mgeq{}  cd)
3.  \mforall{}a,b,c:Point.    (ab>ac  {}\mRightarrow{}  b  \#  c)
4.  \mforall{}a,b,c:Point.    bc  \mgeq{}  aa
5.  \mforall{}a,b,x:Point.    ((\mneg{}a  \#  b)  {}\mRightarrow{}  xa  \mgeq{}  bx)
6.  \mforall{}a,b,c,d,e,f:Point.    (ab>cd  {}\mRightarrow{}  cd  \mgeq{}  ef  {}\mRightarrow{}  ab>ef)
7.  \mforall{}a,b,c,d,e,f:Point.    (ab  \mgeq{}  cd  {}\mRightarrow{}  cd>ef  {}\mRightarrow{}  ab>ef)
8.  \mforall{}a,b,c:Point.    (B(abc)  {}\mRightarrow{}  b  \#  c  {}\mRightarrow{}  ac>ab)
9.  \mforall{}a,b,c:Point.    (a  leftof  bc  {}\mRightarrow{}  b  leftof  ca)
10.  \mforall{}a,b,c:Point.    (a  leftof  bc  {}\mRightarrow{}  b  \#  c)
11.  \mforall{}a,b,c,d:Point.    (B(abd)  {}\mRightarrow{}  B(bcd)  {}\mRightarrow{}  B(abc))
12.  \mforall{}a,b,c,d,A,B,C,D:Point.
            (a  \#  b  {}\mRightarrow{}  B(abc)  {}\mRightarrow{}  B(ABC)  {}\mRightarrow{}  ab  \mcong{}  AB  {}\mRightarrow{}  bc  \mcong{}  BC  {}\mRightarrow{}  ad  \mcong{}  AD  {}\mRightarrow{}  bd  \mcong{}  BD  {}\mRightarrow{}  cd  \mcong{}  CD)
13.  \mforall{}a,b,c,x,y:Point.    (ax  \mcong{}  ay  {}\mRightarrow{}  bx  \mcong{}  by  {}\mRightarrow{}  cx  \mcong{}  cy  {}\mRightarrow{}  x  \#  y  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}a  \#  bc))
14.  \mforall{}a,b,x,y,z:Point.    (x  leftof  ab  {}\mRightarrow{}  y  leftof  ab  {}\mRightarrow{}  B(xzy)  {}\mRightarrow{}  z  leftof  ab)
15.  \mforall{}a,b,c,y:Point.    (a  \#  bc  {}\mRightarrow{}  y  \#  b  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}y  \#  ab)  {}\mRightarrow{}  y  \#  bc)
16.  a  :  Point
17.  b  :  Point
18.  c  :  Point
19.  d  :  Point
20.  e  :  Point
21.  f  :  Point
22.  ab>cd
23.  cd>ef
\mvdash{}  ab>ef


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]  (6)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index