---

Step * of Lemma hull-cmp_wf

No Annotations
∀[g:OrientedPlane]. ∀[xs:{xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} ]. ∀[i,j:ℕ||xs||].
  (hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ comparison({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} )) supposing (ij ∈ Hull(xs) and (¬(i = j\000C ∈ ℤ)))
BY
{ (Auto
   THEN (InstLemma `in-hull-transitivity` [⌜g⌝;⌜xs⌝;⌜i⌝;⌜j⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (MemTypeCD THENW Auto)
   THEN (Assert hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
                ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
                ⟶ ℤ BY
               ProveWfLemma)
   THEN Auto) }

1
1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. Trans({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;x,y.(¬(x = y ∈ ℤ)) ∧ (↑x L iy))
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ ℤ
9. x : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
10. y : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
⊢ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = (-(hull-cmp(g;xs;i;j) y x)) ∈ ℤ

2
1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. Trans({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;x,y.(¬(x = y ∈ ℤ)) ∧ (↑x L iy))
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ ℤ
9. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .  ((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = (-(hull-cmp(g;xs;i;j) y x)) ∈ ℤ)
10. x : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
11. y : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
12. (hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = 0 ∈ ℤ
13. z : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
⊢ (hull-cmp(g;xs;i;j) x z) = (hull-cmp(g;xs;i;j) y z) ∈ ℤ

3
1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. Trans({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;x,y.(¬(x = y ∈ ℤ)) ∧ (↑x L iy))
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ ℤ
9. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .  ((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = (-(hull-cmp(g;xs;i;j) y x)) ∈ ℤ)
10. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .
      (((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = 0 ∈ ℤ)
      ⇒ (∀z:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} . ((hull-cmp(g;xs;i;j) x z) = (hull-cmp(g;xs;i;j) y z) ∈ ℤ)))
11. x : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
12. y : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
13. z : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
14. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y)
15. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) y z)
⊢ 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x z)

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}[g:OrientedPlane].  \mforall{}[xs:\{xs:Point  List|  geo-general-position(g;xs)\}  ].  \mforall{}[i,j:\mBbbN{}||xs||].
    (hull-cmp(g;xs;i;j)  \mmember{}  comparison(\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  ))  supposing  (ij  \mmember{}  Hull(xs)  \000Cand  (\mneg{}(i  =  j)))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (InstLemma  `in-hull-transitivity`  [\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}xs\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (MemTypeCD  THENW  Auto)
  THEN  (Assert  hull-cmp(g;xs;i;j)  \mmember{}  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
                            {}\mrightarrow{}  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
                            {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}  BY
                          ProveWfLemma)
  THEN  Auto)

---

Home Index