---

Step * 3 of Lemma hull-cmp_wf


1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. Trans({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;x,y.(¬(x = y ∈ ℤ)) ∧ (↑x L iy))
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ ℤ
9. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .  ((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = (-(hull-cmp(g;xs;i;j) y x)) ∈ ℤ)
10. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .
      (((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = 0 ∈ ℤ)
      ⇒ (∀z:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} . ((hull-cmp(g;xs;i;j) x z) = (hull-cmp(g;xs;i;j) y z) ∈ ℤ)))
11. x : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
12. y : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
13. z : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
14. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y)
15. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) y z)
⊢ 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x z)
BY
{ (((D 7 With ⌜z⌝  THENA Auto) THEN (D -1 With ⌜y⌝  THENA Auto) THEN (D -1 With ⌜x⌝  THENA Auto))
   THEN DSetVars
   THEN (Unhide THENA Auto)) }

1
1. g : OrientedPlane
2. xs : Point List
3. geo-general-position(g;xs)
4. i : ℕ||xs||
5. j : ℕ||xs||
6. ¬(i = j ∈ ℤ)
7. ij ∈ Hull(xs)
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ ℤ
9. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .  ((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = (-(hull-cmp(g;xs;i;j) y x)) ∈ ℤ)
10. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .
      (((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = 0 ∈ ℤ)
      ⇒ (∀z:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} . ((hull-cmp(g;xs;i;j) x z) = (hull-cmp(g;xs;i;j) y z) ∈ ℤ)))
11. x : ℕ||xs||
12. (¬(x = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(x = j ∈ ℤ))
13. y : ℕ||xs||
14. (¬(y = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(y = j ∈ ℤ))
15. z : ℕ||xs||
16. (¬(z = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(z = j ∈ ℤ))
17. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y)
18. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) y z)
19. ((¬(z = y ∈ ℤ)) ∧ (↑z L iy)) ⇒ ((¬(y = x ∈ ℤ)) ∧ (↑y L ix)) ⇒ ((¬(z = x ∈ ℤ)) ∧ (↑z L ix))
⊢ 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x z)

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  OrientedPlane
2.  xs  :  \{xs:Point  List|  geo-general-position(g;xs)\} 
3.  i  :  \mBbbN{}||xs||
4.  j  :  \mBbbN{}||xs||
5.  \mneg{}(i  =  j)
6.  ij  \mmember{}  Hull(xs)
7.  Trans(\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  ;x,y.(\mneg{}(x  =  y))  \mwedge{}  (\muparrow{}x  L  iy))
8.  hull-cmp(g;xs;i;j)  \mmember{}  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
      {}\mrightarrow{}  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
      {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
9.  \mforall{}x,y:\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  .
          ((hull-cmp(g;xs;i;j)  x  y)  =  (-(hull-cmp(g;xs;i;j)  y  x)))
10.  \mforall{}x,y:\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  .
            (((hull-cmp(g;xs;i;j)  x  y)  =  0)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
                        ((hull-cmp(g;xs;i;j)  x  z)  =  (hull-cmp(g;xs;i;j)  y  z))))
11.  x  :  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
12.  y  :  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
13.  z  :  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
14.  0  \mleq{}  (hull-cmp(g;xs;i;j)  x  y)
15.  0  \mleq{}  (hull-cmp(g;xs;i;j)  y  z)
\mvdash{}  0  \mleq{}  (hull-cmp(g;xs;i;j)  x  z)


By

---

Latex:
(((D  7  With  \mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THENA  Auto))
  THEN  DSetVars
  THEN  (Unhide  THENA  Auto))

---

Home Index