---

Step * 1 2 2 of Lemma hull-cmp_wf


1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. Trans({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;x,y.(¬(x = y ∈ ℤ)) ∧ (↑x L iy))
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ ℤ
9. x : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
10. y : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
11. x ≠ y
⊢ if y L ix then 1 else -1 fi  = (-if ¬by L ix then 1 else -1 fi ) ∈ ℤ
BY
{ Assert ⌜x L iy ∈ 𝔹⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. Trans({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;x,y.(¬(x = y ∈ ℤ)) ∧ (↑x L iy))
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ ℤ
9. x : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
10. y : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
11. x ≠ y
⊢ x L iy ∈ 𝔹

2
1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. Trans({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;x,y.(¬(x = y ∈ ℤ)) ∧ (↑x L iy))
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ ℤ
9. x : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
10. y : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
11. x ≠ y
12. x L iy ∈ 𝔹
⊢ if y L ix then 1 else -1 fi  = (-if ¬by L ix then 1 else -1 fi ) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  OrientedPlane
2.  xs  :  \{xs:Point  List|  geo-general-position(g;xs)\} 
3.  i  :  \mBbbN{}||xs||
4.  j  :  \mBbbN{}||xs||
5.  \mneg{}(i  =  j)
6.  ij  \mmember{}  Hull(xs)
7.  Trans(\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  ;x,y.(\mneg{}(x  =  y))  \mwedge{}  (\muparrow{}x  L  iy))
8.  hull-cmp(g;xs;i;j)  \mmember{}  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
      {}\mrightarrow{}  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
      {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
9.  x  :  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
10.  y  :  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
11.  x  \mneq{}  y
\mvdash{}  if  y  L  ix  then  1  else  -1  fi    =  (-if  \mneg{}\msubb{}y  L  ix  then  1  else  -1  fi  )


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}x  L  iy  \mmember{}  \mBbbB{}\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index