---

Step * 1 2 1 of Lemma isosceles-mid-exists


1. e : HeytingGeometry
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. a # bc
6. ab ≅ cb
7. a # b
8. b # c
9. c # a
10. ¬a-b-c
11. ¬b-c-a
12. ¬c-a-b
13. ∀x,y:Point.  (((Colinear(a;b;x) ∧ Colinear(c;b;y)) ∧ x # b ∧ y # b) ⇒ (x # by ∧ (∀m:Point. (x-m-y ⇒ m # b))))
14. p : Point
15. b-a-p
16. ap ≅ ba
17. q : Point
18. b-c-q
19. cq ≅ ba
20. x : Point
21. q-x-a
22. p-x-c
23. p # bc
24. ∀m:Point. (p-m-c ⇒ m # b)
25. p # b
26. b # c
27. c # p
28. ¬p-b-c
29. ¬b-c-p
30. ¬c-p-b
31. a # bq
32. ∀m:Point. (a-m-q ⇒ m # b)
33. a # b ∧ b # q ∧ q # a ∧ (¬a-b-q) ∧ (¬b-q-a) ∧ (¬q-a-b)
⊢ ∃x:Point. a=x=c
BY
{ ((Assert p # c BY
          Auto)
   THEN (Assert x # b BY
               Auto)
   THEN (Assert p-x-c BY
               Auto)
   THEN (Assert q-x-a BY
               Auto)
   THEN (InstLemma `geo-inner-pasch-ex2` [⌜e⌝;⌜c⌝;⌜b⌝;⌜p⌝;⌜x⌝;⌜a⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN Auto
   THEN RenameVar `y' (-3)) }

1
1. e : HeytingGeometry
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. a # bc
6. ab ≅ cb
7. a # b
8. b # c
9. c # a
10. ¬a-b-c
11. ¬b-c-a
12. ¬c-a-b
13. ∀x,y:Point.  (((Colinear(a;b;x) ∧ Colinear(c;b;y)) ∧ x # b ∧ y # b) ⇒ (x # by ∧ (∀m:Point. (x-m-y ⇒ m # b))))
14. p : Point
15. b-a-p
16. ap ≅ ba
17. q : Point
18. b-c-q
19. cq ≅ ba
20. x : Point
21. q-x-a
22. p-x-c
23. p # bc
24. ∀m:Point. (p-m-c ⇒ m # b)
25. p # b
26. b # c
27. c # p
28. ¬p-b-c
29. ¬b-c-p
30. ¬c-p-b
31. a # bq
32. ∀m:Point. (a-m-q ⇒ m # b)
33. a # b
34. b # q
35. q # a
36. ¬a-b-q
37. ¬b-q-a
38. ¬q-a-b
39. p # c
40. x # b
41. p-x-c
42. q-x-a
43. y : Point
44. B(byx)
45. B(cya)
⊢ ∃x:Point. a=x=c

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  HeytingGeometry
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  a  \#  bc
6.  ab  \mcong{}  cb
7.  a  \#  b
8.  b  \#  c
9.  c  \#  a
10.  \mneg{}a-b-c
11.  \mneg{}b-c-a
12.  \mneg{}c-a-b
13.  \mforall{}x,y:Point.
            (((Colinear(a;b;x)  \mwedge{}  Colinear(c;b;y))  \mwedge{}  x  \#  b  \mwedge{}  y  \#  b)
            {}\mRightarrow{}  (x  \#  by  \mwedge{}  (\mforall{}m:Point.  (x-m-y  {}\mRightarrow{}  m  \#  b))))
14.  p  :  Point
15.  b-a-p
16.  ap  \mcong{}  ba
17.  q  :  Point
18.  b-c-q
19.  cq  \mcong{}  ba
20.  x  :  Point
21.  q-x-a
22.  p-x-c
23.  p  \#  bc
24.  \mforall{}m:Point.  (p-m-c  {}\mRightarrow{}  m  \#  b)
25.  p  \#  b
26.  b  \#  c
27.  c  \#  p
28.  \mneg{}p-b-c
29.  \mneg{}b-c-p
30.  \mneg{}c-p-b
31.  a  \#  bq
32.  \mforall{}m:Point.  (a-m-q  {}\mRightarrow{}  m  \#  b)
33.  a  \#  b  \mwedge{}  b  \#  q  \mwedge{}  q  \#  a  \mwedge{}  (\mneg{}a-b-q)  \mwedge{}  (\mneg{}b-q-a)  \mwedge{}  (\mneg{}q-a-b)
\mvdash{}  \mexists{}x:Point.  a=x=c


By

---

Latex:
((Assert  p  \#  c  BY
                Auto)
  THEN  (Assert  x  \#  b  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  p-x-c  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  q-x-a  BY
                          Auto)
  THEN  (InstLemma  `geo-inner-pasch-ex2`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  Auto
  THEN  RenameVar  `y'  (-3))

---

Home Index